Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице, т. е.
P(A)+р(Л) •=¦[. (5)
Это следует из того, что противоположные события составляют полную группу. Кроме того, если
то
п
Складывая р (А) и р (Л), получаем единицу. Здесь и далее будем обозначать:
р {A) — р — вероятность появления события;
р(А) = д — вероятность непоявления события.
С учетом принятых обозначений выражение (5) перепишем в виде
?тр=1. (6)
§ 5. СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Суммой нескольких несовместных событий называется сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пусть даны несовместные события A1, А г, ... , An. Если событие В — сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих несовместных событий, то
В = (пли A1, или A2.....или An). (7)
Более удобной записью выражения (7) могут служить
В- A1+ A2+ An; (8)
B-t А>. !О)
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы нескольких несозместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
P(B)-PiA1+A2^ « с . +AJ = P(A1) +
+ P(A2) + . . . -г P(An) (10)
или
р{ ZA1)^t p(Ai). (u)
Докажем данную теорему, используя принцип перехода от частного к общему.
Доказательство. Пусть в ящике находятся а — белых, b — желтых, с — оранжевых, d — черных и е — коричневых шаров одинакового размера и массы. Определить вероятность того, что шар, извлеченный наудачу при одном взятии, будет иметь светлый тон (т. е. будет белого, желтого или оранжевого цвета).
Обозначим:
в —событие, состоящее в появлении шара светлого тона;
a1 — » в й в » белого цвета;
A1- » » » » п желтого s
Л3 — » » » » » оранжевого »
a1 — » » ч » в черного »
аъ ¦— » » » » » коричневого в По условию задачи можем записать
в- A1I a2+a3. (U)
Но в то же время, используя формулу (3) для непосредственного подсчета вероятностей, получим
п а-, 6 -(- с + а -|-1
Обозначив a+b+c + d + e через п, выражение (13) перепишем так
p1b)^jl+ jl+jl. ,и)
л п п
В выражении (14), по определению вероятности,
— - р (.40; — - - р M,); — - р (Л3). (15)
Л (J л
С учетом (15) выражение (14) примет вид
/>(В)-рМії-гРМ«ЇН-ЛМз>. (16)
что и требовалось доказать.
Распространяя полученный частный вывод (16) на общий сл>-чай (8), можем считать формулу (II) доказанной.
Пример. В лотерее 1000 Билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 5ClO руб; ha 10 билетов — по 100 руб; на 50 билетов — по 20 руб; на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные.
Найти при наличии одного билета вероятность: I) выигрыша не менее 20 руб м If выигрыша любой суммы.
Решение. Обозначим события: S1 — выигрыш не менее 20 руб; Й, — выигрыш какой-либо суммы при наличии одного билета; A1 — выигрыш 20 руб; -42— выигрыш 100 руб; A3 ~ ныигрыш 500 руб; л4 — выигрыш Б руб.
Согласно условию
B1 = А} + Л24 А* P(B1)^p(A1 +А»+ A3). По теореме сложения вероятностей имеем
P(SJ = P(^O-t P(A2) + P(Az).
Но
50 10
Следовательно, получим
р (Bj) ¦-- 0,050-LO1OlO + 0,001 = 0,061.
Вероятность выиграть какую-либо сумму, имея один билет, равна р (Sj) = р (A1) -[- р (Аа) + P(A3) + р (A4); так как р (A,) = = 0,100,
то р (B2) = 0,161.
§ 6. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Выводы, основанные на положениях теории вероятностей и касающиеся сложных событий, будут существенно различными в зависимости от характера связи между элементарными событиями. Поэтому представляется целесообразным дать определения независимых и зависимых событий и понятие об условной вероятности.
Два события называются независимыми, если вероятность появления любого из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.
Несколько событий называются попарно независи-м ы м и. если каждые два из них независимы.
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое сложное событие (составленное из всех остальных или части их) — события независимые.
Независимость в совокупности и попарная независимость — не одно и то же.
Примеры, а} Отсчеты по шкале прибора при одной установке разными наблюдателями.
б) Результаты измерения одной и той же величины в разное время, в)'Результаты стрельбы по одной мишени разными стрелками.
Два или несколько событий называются зависимыми, если вероятность появления хотя бы одного из них зависит от того, появляются другие события или не появляются.
При мер. Если поражение цели достигается двумя попаданиями, то поражение цели при втором выстреле есть событие зависимое, так как оно может совершаться лишь при условии первого попадания в цель.
" В связи с тем, что наряду с независимыми событиями при испытаниях приходится иметь дело и с зависимыми событиями, возникает вопрос о так называемой условной вероятности.
Вероятность, вычисленная в предположении, что одно или несколько событий уже произошло, называется условной вероятностью.
