Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через р (А) вероятность события А. В дальнейшем для упрощения будем обозначать вероятность просто буквой р.
В теории вероятностей часто рассматривают несовместные, равно-возможные события, образующие полную группу. Такие события называют случаями (или шансами). Тогда, как принято говорить, опыт «сводится к схеме случаев» [(вероятность может быть вычислена непосредственно как отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех возможных случаев (к л а с с и -ческое определение вероятности), по формуле
где т — число случаев, благоприятствующих некоторому событию; п — число всех возможных случаев; р — вероятность события.
Случай называется благоприятствующим некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой пояа-ление^даиного события.
П р'и меры, a)IB урне находится 50 белых и 46 черных шаров, Onpd-делить вероятность появления двух белых шаров при одновременной выборке шаров из ящика.
Решение. Подсчитаем число всех возможных случаев п и число случаев т. благоприятствующих появлению двух белых шаров;
т sS П,
(3)
96!
2! (96 — 2)!
50! I
2! (50
M
следовател ьно.
ін r-h 2! 48!
п г-г ш
^эб -¦—
2! 94'
Пользуясь основным свойством факториала п\ = п (п—1)!. произведем соответствующие сокращения н получим
_ 49¦5Q
Г ~ 93-96
окончательно р ж 0,27.
б) Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размеру. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь лі'е окрашенные граки.
Решение. Всего кубиков я = 1Of]O. Куб имеет 12 ребер, на каждом из которых по S кубикон с дв\мя окрашенными гранями, следоидтельно,
т = 12 3 ^ 96; р=-. й,0%.
Отмеченное выше свойство относительной частоты — устойчивость—явилось предметом исследования многих ученых. Первым выразил эту закономерность в виде теоремы Яков Бернулли (1654—(705). Он установил, что при числе испытаний неограниченно большом с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, относительная частота события сколь угодно мало отличается от его вероятности в отдельном опыте. (Вероятность р в отдельном опыте постоянна). Это положение — простейшая формулировка закона больших чисел. Математически теорема Бернулли в принятых обозначениях может быть выражена формулой
М р\<е]>\-5, (4)
P
Л'-¦'СО
где є и 6 — сколь угодно малые положительные числа.
Формула (4) лежит в основе эмпирического определения вероятности в тех случаях, когда нет возможности применить формулу Щ. В этих случаях вероятность принимают приближенно равной относительной частоте, полученной из достаточно большого числа испытаний. Вероятность, полученную таким путем, называют статистической. Заметим, кстати, что на практике это бывает как правило.
Из формулы (3) следует, что чем ближе вероятность к единице, тем чаще происходит событие, и чем ближе вероятность к нулю, тем событие происходит реже.
Если вероятность события сколь угодно близка к единице, его называют практически достоверным, если близка к нулю — практически невозможным. Степень приближения р к 1 или 0 оценивается, исходя из практических сооб-
ражений. Иными словами, нельзя заранее указать абсолютную величину вероятности, при которой можно было б!.! событие считать или практически достоверным, или практически невозможным, весь вопрос состоит в том, о каком конкретном событии идет речь.
П р и м е р. Если при стрельбе из артиллерийских орудий из 1000 снарядов 999 разорвутся при падении и один снаряд не разорвется, вероятность события «нераэрыв снарядли, равную O1OD]. можно уверенно считать величиной пренебрегаемо малой, а указанное событие ¦— прлніичегьн невозможным. Но если 0,101 есть ыерон'мость события «нераскрытые парашюта после прыжка^, то вряд ли мы так же легко отнесем это событие к практически невозможным.
Из изложенного следует, что для каждого испытания, исходя из практических соображений, необходимо установить как бы допустимую величину отклонения вероятности от единицы или нуля для того, чтобы можно было считать событие практически достоверным или, наоборот, практически невозможным.
Рассмотрим следствия, которые вытекают из определения вероятности.
1. Вероятность невозможного события равна н\лю, т. е.
PdO-O1
где V — невозможное событие.
Если в формуле (3) т — 0, то р = 0.
2. Вероятность достоверного события равна единице, т. е.
P(U)=U где U — достоверное событие.
Если в формуле (3) т = п Ф 0, то /J=I.
3. Вероятность любого события, так же как и его относительная частота, всегда рациональная правильная дробь, т. е.
0 < р < 1,
так как число благоприятствующих случаев т в этом случае отвечает условию
0 m < п.
4. Вероятность случайного события, как следует из теоремы Бернулли, всегда отвечает условию
0<р<1.
5. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице, поскольку одно из событий полной группы обязательно должно совершиться при испытании.
