Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[AVl - [A2Pl Рср- (477)
причем заранее подберем рср таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (477), т. е.
[AVl
Равенство (476) можем представить с учетом (477) в виде
IpJ3 k
При числе наблюдений достаточно большом, очевидно, справедливо приближенное равенство
Рср ~ ' (479)
Ip] л
С учетом формулы (479) выражение (478) примет вид
-2-ї— 2\\р'к. (480)
1 ~ [Р\п + 2 [piп
2
Пренебрегая в выражении (480) членом -УД^Д^ в силу
Ip]"
того, что для независимых наблюдений
М(Аі}М[Акрк) -0,
получим
[Pl « [P] * ^ '
где M — средняя квадратическая ошибка общей арифметической средины. Из формулы (481) вытекает, что средняя квадратическая ошибка общей арифметической средины есть именно та ошибка (Af = Т[), которую следует ожидать при данном комплексе измерений. Таким образом подтверждается соответствующее свойство кривой Гаусса [см. формулу (407) ] и для неравноточных измерений.
Подставляя значение ц2 из (481) в формулу (475), с учетом того
что
IA2P] _ „» — J1 ,
запишем
(4Є2)
Далее имеем
-"('-T-) ^f1-
f - ЛІ^~~- (483)
Применение формулы (483) позволяет решить поставленную выше задачу оценки точности по отклонениям результатов неравно-точны); наблюдений от рбщей арифметической средины.
В соответствии с формулой (199) надежность средней квадратичеекой ошибки единицы веса, вычисленной по формуле (483), будет определяться формулой
У2(я- I)
(484)
В соответствии с формулами (463) и (484) надежность средней квадратичеекой ошибки общей арифметической средины характеризуется формулой
(485)
У2 п
В том случае, когда общую арифметическую средину вычисляют по формуле (440) с введением приближенного значения v', контролем Iv2P ] служит равенство
IvM -Le2PI- (486)
В самом деле,
I [Pl I IpI
Далее,
i-i /—і
P1-
или
I0Vl=[BVH -i^ IpI-2-И- [e»pj--[P-^-.
IpI'' IpI IpJ
что и требовалось доказать.
150
§ 48. ПОРЯДОК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Получив в результате многократных неравноточных наблюдений одной и той же величины ряд Jc1, хг, хя, .... X4 с весами P1, р3, р3, ... , р„, вычисляют:
1) общую арифметическую средину по формуле (433) или (440) с контролем
M = O (или [M=IpIP);
2) среднюю квадратнческую ошибку единицы веса по формуле (483) с оценкой надежности по формуле (484) и с контролем вычисления по формуле (486); в тех случаях, когда система весов определялась по формуле (434), ошибку единицы веса следует вычислять по формуле (461);
3) среднюю квадратнческую ошибку общей арифметической средины по формуле (464) с оценкой ее надежности по формуле (485) или
iA1^-?L-. (487)
т.
л/2 и '
4) доверительный интервал P (х—taM
X
х + 1аМ) = Рл.
Примеры 1 • Географическая широта од unit из точек земной повер * пости определена Hi 8 серий наблюдений впсемі, раз, в ре.і> льтате чего вы числены простые арифметические средины її нх средние квадратические ошибки. Определить окончателі.ное значение широты (общую арифметическую средину) и его среднюю квадратнческую ошибку.
Решение. Составим табл. 25.
Таблица 25
1
Среди чч
,I4
Значение
KB
г- -
широты.
ошибка
d
<
полученное
широты
-
It ClM) И И U1
її серии
¦-,
і
I
M1
Cl
г
q
Cl
ь
К-
QJ
ti!
fri
I
0.25"
1.4
+ 0.91
+ 1.27
!.16
-0,40
1 о,ж
0.22
2
35.53
0,21
1.8
-г 0,26
+ 0.47
0,12
—0,25
—0,45
0,11
I
30,39
0,3!
0,81
+ 1,12
+0,91
1,02
+ 0,Gl
I 0,49
0,30
4
35,27
0,19
2,2
0,00
0,00
0,00
—0,51
—1,12
0,57
5
35,78
0,28
1,0
+0,51
¦1-0,51
0,26
0,00
0,00
0,00
ti
35,96
0,23
1,5
+0,69
+ 1,04
0,72
¦1-0,18
+0,27
0,05
—
36.02
0,35
0.64
+0,75
+0.48
0,36
+0,24
I 0,15
0,04
8
35,81
0,15
3,J
—0,54
-1-1,89
I 02
+0.03
I 0.10
0.00
Ч' - ]5М5'35,27'.
15°45'35,27* 4 ¦(„ = I5J45'35,78"
6,57 , 12,85'
12,85
6,57
4,66
+ 1,57 -1,57 [vp] - 0,00
1,29
Вычислим общую арифметическую средину по формуле (440)
)еп| 6 57"
Ф« - Ф + T"^- і Фо - іГг4Г)'35,а7" 1
IpJ " 12.яо
'(„ -- 15-45'35,78".
Контроль' I i>pl — Q
Далее пычислнм среднюю квадратическую ошибка единицы вес л ггз фвр чуле (483J
Vi.аз
Ii -¦ 0.43"
TOn = O1Il".
с оценкой надежности ц по формуле (484)
— 0^3" Контроль вычисления:
№] = [е,р]_ JSPJ!..- 4,66--^;
' J [pi 12,85
|ь2р] -= 4,66 —3,36 -= 1,30.
И, наконец, пычислим среднюю квадратическую ошибку общей арифметической средины по формуле (463)
0,43"
M =- —, -- = 0,12" У12,85
с оценкой ее надежности по формуле (485)
0,12" V2-8
С вероятностью 0,9973 значение искомой широты заключено п пределах 15-45'35.42" s?<p=? 15?'?.14".
