Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем некоторое (может быть, даже несуществующее) наблюдение .г* из ряда (424), вес которого был бы равен единице, т. е. Ръ —- 1. Обозначим среднюю квадратнческую ошибку этого результата mk через (і, тогда формула (434) примет вид
=1,
ц--/»*; ц-л/с . (461)
Таким образом, по выражению (461) р. — это средняя квадратическая ошибка результата наблюдения, вес которого принят рапным единице. Для краткости говорят, что ц есть средняя квадратическая ошибка единицы веса (или даже «ошибка единицы веса»).
В соответствии с формулой (434) и вторым равенством в выражении (461) можем записать
H т,- л/Ji (462)
или
т. середняя результата
mi = -?=, (463)
л! Pi
квадратическая ошибка любого наблюдений равна ошибке е д и -
нице веса, деленной на квадратный корень из веса этого результата.
Формула (463) является основной формулой оценки точности при обработке неравноточных наблюдений Она показывает, что для оценки точности любой величины необходимо решить две задачи: I) найти вес этой величины и 2) определить ошибку единицы веса. Первую задачу решают по формулам (442) и (443); о способах определения ошибки единицы веса будет сказано ниже.
Так как по формуле (434) вес общей арифметической средины равен Ip]1 то в соответствии с формулой (463) средняя квадратическая ошибка общей арифметической средины
M - —?=- . (464)
V Ip I
§ 46. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ЕДИНИЦЫ ВЕСА, ВЫЧИСЛЕННАЯ ПО ИСТИННЫМ ОШИБКАМ НЕРАВНОТОЧНЫХ
НАБЛЮДЕНИЙ
Пусть в результате неравноточных наблюдений получены Xi, X2, . . . , Xn,
Ai. A2.....Д„,
ръ Pz, ... , Рн-
где Д,- — истинные ошибки неравноточныл наблюдений; pi — соответствующие веса (/ — I, 2, , . . , п).
Для сравнения истинных ошибок Д, между собой, учитывая формулу (462), умножим каждую из них на корень квадратный из соответствующих весов и таким образом ряд ошибок неравноточных наблюдений A1, A2, . . , , An как бы превратим в ряд ошибок равноточных наблюдений
AiVPi. A2Vp"a..... А„Ур7 (465)
Умножая ошибки на д/р, их нормируют, т. е. получают возможность сравнивать нормированные значения
А; л/Pi = Af Л /-^r= р — = рД-. V т-, т,
(466)
Но значении Л для любых рядов наблюдений подчиняются одному закону распределения. В этом суть выполняемых преобразований.
Пользуясь рядом (465), среднюю квадратическую ошибку единицы веса получим по формуле (!45)
я._ (A1 уР, Y + (A1 уРд)- . . , -і- KvW)3
Формулу (467) непосредственно применять удается редко, так как истинное значение наблюдаемой величины X, необходимое для вычисления истинных ошибок
\/ - av -X,
в большинстве случаев неизвестно.
Тем не менее формула (4671 играет весьма важную ро."Х, когда вместо ошибок наблюдений использх ются ошибки функций результатов наблюдений, г. е. невязки. Тогда формула (467) примет вид
(468)
v п
где
!1.'--¦-(P(X1, .... JC,,) —ф (X1, . . . , Xn),
I
\ дх, J р, \ Oxn ) P11
Примером применения формулы 1468) является известная формула Ферреро, используемая для оценки точности измерения углов в_триангуляцип по невязкам w в треугольниках
тл
где
*' = <Pi-. PVl 1%>-(1«0 т-е), 1 P - 3 (обратный вес суммы трех углов); 180" — истинное значение функции, т. е. суммы трех углов плоского треугольника и 180" — с — в сферическом треугольнике, где є — сферический избыток; п — число треугольников.
Кроме того, формула (467) будет далее использована для вывода некоторых других формул, имеющих практическое значение и, в частности, позволит перейти от оценки точности по истинным ошибкам к оценке точности по отклонениям результатов не-равноточных наблюдений от общей арифметической средины (450). т. е. по разностям Vi = л,—х.
§ 47. СРЕДНЯ Я КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ЕДИНИЦЫ ВЕСА, ВЫЧИСЛЕННАЯ ПО ОТКЛОНЕНИЯМ РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОТ ОБЩЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ
Выразим истинные ошибки неравноточных наблюдений в формуле (467) через отклонения (450), для чего запишем
р, \ -х, — Х, і
469)
pi V1 - X1 -X. )
(і = 1. 2. 3.....п)
Составим разность
Ai — o, -,х-К -ту, (470)
здесь т) — истинная ошибка общей арифметической средины. Далее запишем
(471)
H = -^-;
в самом деле, її X-
[хр]
1р\
_Х- т| = И Y - [^P] - х H _
\Р) \р\
Ip]
Для лг наблюдений можем записать
Pi ді-і'іі-і1, Pz A2 = V2 + и,
(472)
P„ An = L',, I" j].
Для перехода к рэ в соответствии с формулой (467) возведем в квадрат равенства (472) и умножим на соответствующие веса; получим:
A^P1= ^P1+ т)гр, -f 2HC1P1,
i^-t^Wp^^p,, (473
АЛРЛ = ? +1I5Pn+2г,гу7п.
Суммируя левую и правую части равенств (473), имеем
I A2Pl - [«Vl + 1I3 (Pl + 2п Ш¦ (474)
Но по первому свойству отклонений в соответствии с выражением (451)
2<]\vp] = Q.
Следовательно,
[A2P]
1^1 + T,*j?L
(475)
Предварительно, с учетом формулы (467), преобразуем т\2 следующим образом:
IAp] V ЛХ + •
ЛпРп + 22ЛіЛ-ЛЛ
IpP
[p]s
Пусть в формуле (476)
