Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Определить пес угла J5 (из примера 10, S 35). представляющего СуММУ Значений ЛВ\ А СМЄ*НЬІХ УГЛОП Pi И ра, еС.ТН ПСС уГЛОП /7^ = flp =
Так как
то
Ul
11-11]
— -- 2—7 0,'»5 —~ -2 — 0.5 =¦ 1 'j.
Таким образом, ~ 0,67
Если бы не была учтена корреляционная зависимость, т» вместо верного значення рв — 0,67 Сило бы получен» рр =~ 0,5.
Для средней квадратичеекой ошибки функции независимых аргументов в § 34 была получена формула (335), в соответствии с которой
* Ul-'KU^ ¦¦HU*- <*»
Обратный вес функции в этом случае с учетом формул (434) л (443) может быть получен по формуле
_L=(i!VJ- lY^V-U ¦ ¦ ¦ +(^V-. (444)
Pa \ OX Jn рх \ ду Jn Pu \ гЪ А рш
Дли всех пяти случаев ф\нкции общего вида, рассмотренных в § 34, по формуле (444) имеем
Lu кх; J- . (445)
Pu Px
1. и- х±ц; — = — -и-1-. (446)
Pu Pt Pu
3. и -- х± у±<~, — = — (447)
Pu Px Py Р;
4. и-х±у± . . . ±ш; — ---1- + — +.. -j---. (448)
Pu Pi Py Pv
5. u-k1x±k.,y± . . . ±&„w, ~ ~kt — — *а — ' - - I — -
Ph Pi Pv Р:і.
(449)
Примеры 1. Определить вес вычисленного значеній длины окружности s, если вес радиуса R pR — 6,3 (R — 46,3 ± 0,4 мм). Решение.
s = 2яП. —-,^1; — ,6,3; P5-0.16 Ps Pr Р*
2. Определить пес функции
u = х — У -г г, если р? =- 3, ри =¦ —, рг -= -.
} 4
Решение.
-L - J- I J- -L - _'_ і і і 4 _ Л ¦ „ - А Ph 1'х Py P1' Du 3 3 ' " 22
3 Определить нес функции
и .— 2х - — Ij — — г, если Pr = 3, р„ — — , P1 = —.
3 2 3 4
Решение.
I _ J^ + _J_ + _J_ _1 . 3__, ?. Pa Р.. Зрй Арг 3 9 4 '
_ 48— 12-1-36 _ 8_ . 3
Р„ 36 " 3 ' " ~ 8 '
4 і !пределить вес плпшлди треугольника, если основание его b — = Й,0 к получено с несом pi, — I, j рысотв h — 16,0 « с песо» рп = — .
Решение.
и = — Ыс. 2
ри " \ Ob h Рь Г\ Oh Л г,,' { Oh )ь ~ 2 ' \ <-h Jo ~ 2
1 Ла Ь* 1,"-2Ьг 1 256 г 12S 384
Pu ^Pb ' ^Ph 4 Pu * *
§44 ОТКЛОНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯ ОТ ОБЩЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ
Отклонениями V,- результатов неравноточных наблюдений от общей арифметической средины х будем называть разность
IU — Xi-х. 1450)
Рассмотрим свойства этих отклонений.
Первое свойство. Алгебраическая сумма произведений отклонений результатов неравноточных наблюдений от общей арифметической средины на соответствующие веса равна нулю при любом числе наблюдений, т. е.
|t'p| =0. (451)
Докажем это свойство, выражаемое рjвенством (•(5I). для чего за" пишем
P1 V1 = X1-X0,
Pi Vl~~ X3-Xq, (452)
Pn Vn-Xn —X0,
где P1, р.., . . . , р„ — веса отклонении соответственно U1, tl.,, . . . , Vn.
Перемножив равенства (452) на соответствующие веса и сложив левую и правую части, получим
\ир\ -- }лр\ —х)р] Согласно формуле (433)
[хр\ - х Ip)1
следовательно,
\vp\ -- О,
что и требовалось доказать.
Если при вычислении отклонений Vi по формуле (450) общая арифметическая средина х была округлена на величину Р, то нетрудно по формулам ('452) установить, что свойству (451) соответст-в\ет
Свойство (453) равно как и (451) применяют для контроля вычислений общей арифметической средины.
Второе свойство. Сумма произведений квадратов отклонений результатов неравноточных наблюдений от общей арифметической средины на соответствующие веса минимальна, т. е.
(k2Pl - п1їп. (454)
Выше (§ 42) было доказано, что
^->—~ л- 1^-T— f ¦ - ¦ +-^-^— nun. (ioo)
Пользуясь определением весов (434), дли частного случая с — 1 с учетом обозначения (450) по формуле (455) имеем
v'ipi м iipz т- • . . 4- vnpn -- [i'-'p] - min.
Доказательство свойства (454) можно выполнить также алгебраическим путем. В самом деле, пусть х' == л-;
Zi х,~х' [і--- 1, 2, 3, . . . , п).
Напишем
E1-Jf1-j:'; Vi--Xi~x, (456)
Установим связь между отклонениями е, и Vi, вычитая в выражениях (456) V; из е, ,
е,— Vi = x — x' ----с. (457)
По формуле (457) можно получить
Pi е? ^ = «,-г с2+ 2«J1,
рг е-]- v\ ¦Vc t-2ra2,
Pa Vn - Vn ¦+- С2 4-2Щ,,
гле рг, р», ¦ ¦ ¦ , P-! ~ веса отклонении соответственно B1,
Умножая равенства (458) на соответствующие веса и сложив левую н прав\ю части, получим
|егр] = \и2р\ -г с2 [р| - 2<г \vp]. (459)
В правой части равенства (459) слагаемое
Ic [up] = О
по первому свойству отклонений (451). Из формулы (459) следует
что и требовалось доказать.
Доказательство (460) еще раз убеждает в том, что если ошибки перавноточны.х наблюдений подчиняются закону нормального распределения, то наиболее надежным значением искомой величины является общая арифметическая средина.
§ 45. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ЕДИНИЦЫ ВЕСА
Как было установлено в § 42, вес — величина, обратно пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки,— может быть вычислен по формуле (434).
