Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При вычислении весов однородных результатов наблюдений по формуле
р, = -і- (434)
ті
размерность произвольного постоянного с принимают равной размерности ml. В данном случае веса есть отвлеченные числа, являющиеся количественной характеристикой соотношения точности результатов неравнеточных наблюдений. При вычислении весов по формуле (434) в большинстве случаев достаточно удерживать две значащие цифры.
Из вышеизложенного вытекает, что простая арифметическая средина есть частный случай общей арифметической средины, когда
Pi = Pz= ¦ - ¦ = 1 (Ip] = л).
Пользуясь определением весов (434), легко показать, что вес простой арифметической средины больше веса одного наблюдения, по которым она вычислена, в п раз (п — число наблюдений).
В самом деле, если P — вес простой арифметической средины, р — вес одного наблюдения, то в соответствии с определением весов (434) имеем
/J= — ; р = — ; (4351
гдесь M — средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины, т — средняя квадратическая ошибка одного наблюдения.
По формулам (435) получим
с
P
р с с
14і тії1
Как следствие из формул (432) и (436), вес общей арифметической средины P- равен сумме весов результатов наблюдений, по которым она вычислена, т. е.
Pi = IPl- (437)
В частном случае, когда неравноточность полученных результатов обусловлена числом равноточных наблюдений, как это имело место в сериях (422), в качестве весов отдельных простыл арифметических средин (423) следует взять число наблюдений в отдельных сериях, т. е.
Pi-''; Pt = і I- 2; рх - (—5; . . . ; pk +
На этом примере легко установить сходство и некоторую аналогию между весом р, и относительной частотой Q и, следовательно, между общей арифметической срединой (433) и математическим ожиданием (ПО). Для этой цели необходимо в формулах (433) принять
IpI IpI IpI
и рассматривать р, {і = 1, 2, . . . , п) как вероятности.
B большинстве случаев, так же как и при вычислении простой арифметической средины, общую арифметическую средину по формуле (433) вычислять неудобно. Удобнее вводить приближенное значение измеренной величины х'. Формула общей арифметической средины в этом случае может быть получена следующим образом
Если X1, х.г, Xj, ... , х„ — результаты неравноточных наблюдений одной и той же величины, a /j1, /j2, рр„— их веса, то, вводя приближенное значение х', получим остатки
Е2=хгх':1 «ащ
^fj — ^CfI . г
Далее в соответствии с формулой (432) и с учетом равенств (439) имеем
'_(*' +Zi) Pi : (х' - ea)pi.-i- ¦ ¦ • -I-(х' -\- е„)р„ . Pi + Pa + ¦ ¦ ¦ + Pn
х = х' + ^-. (440)
Ip] к '
В качестве приближенного значения х' при вычислении общей арифметической средины по формуле (440) рекомендуется выбирать также наименьшее из значений х( с тем, чтобы остатки е,- были положительны.
§43. ВЕСА ФУНКЦИЙ ВЕЛИЧИН, ПОЛУЧЕННЫХ ИЗ ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Задачу на определение весов функций решим в общем виде аналогично тому, как поступали при оценке точности (см. § 32). Пусть дана функция
u^f(x, у, г, . . . w),
где х, у, г.....w —- наблюденные аргументы, веса которых {рх,
Py Pw) предполагаются известными.
Необходимо определить вес функции /(.
Рассмотрим два случая: случай функции коррелятивно-зависимых и функции независимых аргументов х, у, z, . . . ш.
Из приведенного сравнения формул (UO) с. (433) со всей очевидностью вытекает, что при математической обработке рядов равноточных измерений одной и той же величины при вычислении X по формуле (370) фактически имеем дело с точными значениями вероятностей pi —¦— и при математической обработке рядов неравноточных измерений одной и той же величины при вычислении X по формуле (433) имеем дело со статистическими вероятностями ри увеличенными в Ip І раз, причем дли удобства вычислений условие
п
X Pi ==1 сознательно нарушается на том основании, что согласно 1=1
формуле (433) веса можно увеличивать или уменьшать в любое число
раз, нельзя только нарушать соотношение весов. Именно в резуль-
Ii
тате этого действия, т. е. при отказе от соблюдения условия ? р,=
= \р і — 1, и теряется видимая связь понятия веса с понятием вероятности. Однако описанное действие — всего лишь вычислительный прием, а сущность остается. Более сложным становится вопрос о весах неоднородных измерений при совместной их обработке, когда приходится говорить о соотношении весов, а следовательно, и о наименовании весов. II тем не менее в широком вероятностно-статистическом плане последнее тоже всего лишь вычислительный прием, не более.
Для функции коррелятивно-зависимых аргументов квадрат средней квадратической ошибки выражается формулой (331), т. е.
Известно, что
с
Pr-
Таким образом, обратный вес функции общего вида для случая коррелятивно-зависимых аргументов в соответствии с формулами (331) и (434) примет вид
Pu \dxjn р, \dyJo ру 1 VdWi1 pw
или
Pu \ дх Jd Pi V ду Ja ру V дк /її рш
+ 2(t).(f)/-W + -- <442)
