Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
I! Т. П.
Пусть, например, имеется k серий равноточных наблюдений одной и той же величины, точное значение которой X,
I) X1, X2, . . . , X1, j
П) Л*[ + 1, Хі+і, ¦ ¦ • > xZi> X-li + l, i
III) X2i+3, хгі+і, . , . , Х3,_4, xst-a, <422)
К) X(k—\)i, Xki-i+i, . . . , Xkii~i), Xki.
Если каждая из серий обработана отдельно и получены простые арифметические средины
*И), -«(її), хащ, ¦ ¦ ¦ . хт (423)
и их средние квадрэтические ошибки
M1, Mn, M1n, . . . , Мк,
то совокупность (423) можно рассматривать как ряд случайных величин, представляющих простейший случай результатов неравноточных наблюдений. Могут встречаться и более сложные случаи, например, когда наблюдения в каждой серии между собой также неравноточны.
Таким образом, неравноточными наблюдениями одной и той же величины или однородных величин будем называть такие наблюдения, которые выполнены приборами различной точности или приборами одинаковой точности, но разным числом приемов, или выполнены в различных условиях (внешняя среда, опытность наблюдателя и т. д.).
Возникает задача отыскания по результатам неравноточных наблюдений одной и той же величины наиболее надежного окончательного результата, обладающего наименьшей средней квадратичеекой ошибкой,
§42. ОБЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДИНА ВЕСА НАБЛЮДЕНИЙ
Задачу на отыскание по результатам неравноточных наблюдений одной и той же величины наиболее надежного окончательного результата решим в общем виде.
Пусть в результате неравноточных наблюдений получен ряд
*и Хг' **Хя' j (424)
ти т2, т3.....тп, |
где ти тг, т3, . . . , т„ — средние квадр этические ошибки результатов наблюдений X1, х2, хя> . . . , хп.
С формальной вероятностно-статистической точки зрения, следовательно, условие неравноточности различных значений х/ (f = l, 2, 3, . . . , п) может быть выражено неравенствами
т^Фт2фт3Ф . . . фт„.
Для упрощения решения поставленной задачи от средних квад-ратических ошибок ггн перейдем к нормированным ошибкам
^.-ІІП*.; їа_-ІЇ^Л; ta = ^zJL;...-t tn--^^. (425) Hi1 m2 m3 m-,
Здесь
X1-X-A1; X3-X —Да; xs — X=A.^ . . . ; x„—X---An
— истинные ошибки результатов неравноточных наблюдений. С вероятностной точки зрения, получение результатов Xi в (424) равносильно получению ряда нормированных ошибок (425).
Предположим, что случайные ошибки Ai подчиняются закону нормального распределения, тогда вероятности попадания нормированных ошибок в интервалы U + dU, U —dti будут в соответствии с формулой (92) равны
Вероятность сложного события, состоящего в совместном появлении результатов неравноточных наблюдений (424), по теореме умножения для независимых случайных величин выражается формулой
D ( 1 V ,Г T ^Г*- ¦ ' '+'^ Al A, Ai ІЛПГЛ
V^jW) diydtz. . . dtn. (426)
Наиболее надежное значение искомой величины, являющейся функцией результатов неравноточных наблюдений, будет соответствовать максимальному значению вероятности совокупности х, (424). Из формулы (426) вытекает, что вероятность P примет максимальное значение, если будет выполнено условие
или
S(^=Mn. (427,
Примем в формуле (427) в качестве X его приближенное значение X0 — наиболее надежное, пока неизвестное нам значение искомой величины и определим его под условием (427). Представим (427) в развернутом виде
i?L=^+l??Z^^.._i^_r^. min. (428)
Найдем первую производную по (428) и приравняем ее к нулю
_d__ [ (хх — X11Y ^ (? — *0)3 ^_
(Xn - *п)а
„.5
' х) -~ ха . X2 - Xn
ті
или, сокращая на 2 и умножив на произвольное постоянное с *,
ПОЛУЧИМ
с с
X г — —JC0- J-Xt
ml
' __Хо^__0. (429)
После преобразований в левой части равенства (429) имеем
или
с с
X -I —X0 —
т2 \ т2
-0.
Из выражения (430) следует
— х
т-
или в развернутом виде
с
CC с
T2 + „ H- ¦ * ¦ + .-, In1 т., т„
(430)
(431)
Величины —, обратно пропорциональные квадратам средних т\
квадратических ошибок, называют весами неравноточных наблюдений.
* Произвольное постоянное выбирается так, чтобы сом-ньжи-телн
были по иозможности близки К ЄД>ЇНЯЬ0.
Обозначим:
— -^p1-BeC результата Jf1,
т
- р2 —вес результата х2.
2
С
„а
р„ — врс результата хп.
(4.32)
С учетом принятых обозначении выражение (431) примет вид
~х— *iPi + *2pi + ¦ ¦ ¦ + хпР„ Pi-Pi+ ¦ ¦ ¦ +Pn
В сокращенном виде
'х=№. (433)
ІР\
Величину х, являющуюся наиболее надежным значением искомой величины, равную частному от деления на сумму весов суммы произведений результатов неравноточных наблюдений на соответствующие веса, называют весовым средним, или общей арифметической срединой, в отличие от простой арифметической средины (370).
Таким образом, если случайные ошибки независимых неравноточных наблюдений подчиняются нормальному закону распределения, то наиболее надежным значением определяемой величины является общая арифметическая средина.
Из определения весов неравноточных наблюдений следует, что большей точности наблюдений (яли меньшим средним квадратиче-ChHM ошибкам) соответствуют большие веса. По этой причине говорят, что вес определяет степень доверия результату наблюдения.
