Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 41

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 70 >> Следующая


где

Vi=Xi—X, Е^-Хс—х'.

' Свойством {?"3Q\ мы выше уже воспользовались при вычисления»; контрольной суммы St в табл. 5 (§ 15).

Докажем второе свойство отклонений v, алгебраическим путем. Для этой цели, вычитая щ из е; по частям из правого равенства левое, получим

Ei-V1= Xi-х'—Xi + X =-¦ X — х' — с. (392)

На основании выражения (392), для случая, когда число наблюдений равно п, можем записать

Єї = Oi + с, Єа = V2 + с,

En=Vn+ С.

(393)

Возведем в квадрат равенства (393) и, суммируя левую и правую части, получим

[є2і - [zr\ + пс2 +- 2с IvI (394)

Но член 2с [v] — О по первому свойству отклонений Vi1 тогда

И - [Vі]+пс2. (395)

Из формулы (395) следует, что

|eB]>U>*]

на положительное число пс2, вне зависимости DT того, х'>х или х'<.~х.

Таким образом, при х' Ф х

И<И, (396)

что и требовалось доказать.

Доказательство свойства отклонений їй, приведшее к неравенству (396), подтверждает справедливость условии (375), а следовательно, її справедливость утверждения '(§ 36), что наиболее надежным значением из ряда независимых равноточных наблюдений одной и той же величины является простая арифметическая средина.

Перейдем к решению поставленной выше задачи, т. е. найдем способ оценки точности результатов наблюдений с использованием v..

§ 39. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ОДНОГО НАБЛЮДЕНИЯ, ВЫЧИСЛЕННАЯ ПО ОТКЛОНЕНИЯМ РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОТ ПРОСТОЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ

Для решения поставленной в § 38 задачи установим связь между истинными ошибками Ді и отклонениями vi. с этой целью запишем

Д;-дг,-Х; Vi = xt-~x. (397)

Составим разность

At —¦Vc = Xi — X—Xi + х^х—Х = п-Здесь T) —истинная ошибка простой арифметической средины.

Для случая, когда число измерений п, можем записать

Ai -г Л, A2 = 1? +л.

(398)

An Vn - ¦>}. . Возведем в квадрат равенства (398)

A? = i>] 4л2+2уіЛ. A2 = V2 -t-T) -1-2?!!.

Ai = v„ ¦4-I1- ~2ti,Tj.

(399)

Суммируя левую и правую части равенств (399), получим

\а2] = - mf ¦f 2л [V]. (400) Или по первому свойству отклонений

|Аа]-И +-"Лг- (101)

Выражение (400 позволяет перейти к вычислению средней квадратичеекой ошибки по отклонениям л; вместо истинных ошибок A1.

Разделив левую и правую части равенства (401) на число измерений п, получим

[Да] ^ И п п

¦Т|а,

(402)

или с учетом формулы (145)

И03)

По определению истинной ошибки

А, -¦- Xc — X,

истинная ошибка л простой арифметической средины в соответствии с (369) может быть выражена формулой

1 =

(404)

Следовательно,

1 па

(A1 -|- ДН-

(405)

Далее

или

Так как

то по формуле (406) имеем

Um -УЛ,Д*-Л1 (Д(Д*) = 0,

ПІ2

г|2 = —. (407)

Выше было установлено, что ц = х—Х есть не что иное, как истинная о пі и б к а простой арифметической средины. Из выражения (407) в соответствии с формулой (385) I] = M1 т. е. является средней квадратической ошибкой простой арифметической средины. Это в высшей степени важное положение теории ошибок, вытекающее из простых, но строгих рассуждений, привело к доказательству еще одного свойства кривой Гаусса, а именно: средняя квадратическая ошибка есть именно та ошибка, которую следует ожидать при данном комплексе и з м е р е н и й (см. [22, с. 527—528]).

Подставляя значение и,3 из (407) в формулу (403), пол учим

т2 — —+ —

п Il

или

m.(l_±V JEl (408)

\ п ) Il

Окончательно

т = л (409)

Формулу (409) часто называют формулой Бесселя. Когда простую арифметическую средину вычисляют с введением приближенного значения х' по формуле (381), контролем вычисле-

ния Iu2J может служить равенство

Il

э Закаэ .Vs 477

129

что очевидно, так как

{ п) п

В самом деле, по формуле (410) можем записать

vj-г!-2S1M (i = l, 2, . . ., п), [пі п

или

.ПІЩ-2 ^

Таким образом,

2

є

12

или

И-И—(411)

п

что и требовалось доказать.

Существуют также и другие способы контроля вычислений Iv'2].

Вычислив среднюю квадратическую ошибку mпо формуле (409), среднюю квадратическую ошибку простой арифметической средины в соответствии с формулой (385) вычисляют по формуле

М=^=А/^1—. (412)

Средняя квадратическая ошибка самой средней квадратичеекой ошибки, вычисленной по формуле (409), в соответствии с формулой (199), равна

тт^—^=^. (413)

Разность (п—1) в формуле (409) называют числом избыточных (добавочных) наблюдений.

Практически достаточно как для формулы (145), так и для формулы (409) тт вычислять по формуле

Для оценки степени приближения действительного распределения ошибок к нормальному, как уже отмечалось в § 30, вычисляют коэффициент

соотношении средней квадратической и средней ошибок. В случае, когда истинные ошибки наблюдений неизвестны, среднюю ошибку можно вычислить по абсолютным значениям отклонений и, по формуле

^-?- (414)

п — 0,5

Формула (414) получена на основании формулы, предложенной Петерсом

1,25-?. (415)

л — 0,5

В основу вывода формулы (415) положена теоретическая связь между средней и средней квадратической ошибками, выраженная формулой
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed