Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где
Vi=Xi—X, Е^-Хс—х'.
' Свойством {?"3Q\ мы выше уже воспользовались при вычисления»; контрольной суммы St в табл. 5 (§ 15).
Докажем второе свойство отклонений v, алгебраическим путем. Для этой цели, вычитая щ из е; по частям из правого равенства левое, получим
Ei-V1= Xi-х'—Xi + X =-¦ X — х' — с. (392)
На основании выражения (392), для случая, когда число наблюдений равно п, можем записать
Єї = Oi + с, Єа = V2 + с,
En=Vn+ С.
(393)
Возведем в квадрат равенства (393) и, суммируя левую и правую части, получим
[є2і - [zr\ + пс2 +- 2с IvI (394)
Но член 2с [v] — О по первому свойству отклонений Vi1 тогда
И - [Vі]+пс2. (395)
Из формулы (395) следует, что
|eB]>U>*]
на положительное число пс2, вне зависимости DT того, х'>х или х'<.~х.
Таким образом, при х' Ф х
И<И, (396)
что и требовалось доказать.
Доказательство свойства отклонений їй, приведшее к неравенству (396), подтверждает справедливость условии (375), а следовательно, її справедливость утверждения '(§ 36), что наиболее надежным значением из ряда независимых равноточных наблюдений одной и той же величины является простая арифметическая средина.
Перейдем к решению поставленной выше задачи, т. е. найдем способ оценки точности результатов наблюдений с использованием v..
§ 39. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ОДНОГО НАБЛЮДЕНИЯ, ВЫЧИСЛЕННАЯ ПО ОТКЛОНЕНИЯМ РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОТ ПРОСТОЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ
Для решения поставленной в § 38 задачи установим связь между истинными ошибками Ді и отклонениями vi. с этой целью запишем
Д;-дг,-Х; Vi = xt-~x. (397)
Составим разность
At —¦Vc = Xi — X—Xi + х^х—Х = п-Здесь T) —истинная ошибка простой арифметической средины.
Для случая, когда число измерений п, можем записать
Ai -г Л, A2 = 1? +л.
(398)
An Vn - ¦>}. . Возведем в квадрат равенства (398)
A? = i>] 4л2+2уіЛ. A2 = V2 -t-T) -1-2?!!.
Ai = v„ ¦4-I1- ~2ti,Tj.
(399)
Суммируя левую и правую части равенств (399), получим
\а2] = - mf ¦f 2л [V]. (400) Или по первому свойству отклонений
|Аа]-И +-"Лг- (101)
Выражение (400 позволяет перейти к вычислению средней квадратичеекой ошибки по отклонениям л; вместо истинных ошибок A1.
Разделив левую и правую части равенства (401) на число измерений п, получим
[Да] ^ И п п
¦Т|а,
(402)
или с учетом формулы (145)
И03)
По определению истинной ошибки
А, -¦- Xc — X,
истинная ошибка л простой арифметической средины в соответствии с (369) может быть выражена формулой
1 =
(404)
Следовательно,
1 па
(A1 -|- ДН-
(405)
Далее
или
Так как
то по формуле (406) имеем
Um -УЛ,Д*-Л1 (Д(Д*) = 0,
ПІ2
г|2 = —. (407)
Выше было установлено, что ц = х—Х есть не что иное, как истинная о пі и б к а простой арифметической средины. Из выражения (407) в соответствии с формулой (385) I] = M1 т. е. является средней квадратической ошибкой простой арифметической средины. Это в высшей степени важное положение теории ошибок, вытекающее из простых, но строгих рассуждений, привело к доказательству еще одного свойства кривой Гаусса, а именно: средняя квадратическая ошибка есть именно та ошибка, которую следует ожидать при данном комплексе и з м е р е н и й (см. [22, с. 527—528]).
Подставляя значение и,3 из (407) в формулу (403), пол учим
т2 — —+ —
п Il
или
m.(l_±V JEl (408)
\ п ) Il
Окончательно
т = л (409)
Формулу (409) часто называют формулой Бесселя. Когда простую арифметическую средину вычисляют с введением приближенного значения х' по формуле (381), контролем вычисле-
ния Iu2J может служить равенство
Il
э Закаэ .Vs 477
129
что очевидно, так как
{ п) п
В самом деле, по формуле (410) можем записать
vj-г!-2S1M (i = l, 2, . . ., п), [пі п
или
.ПІЩ-2 ^
Таким образом,
2
є
12
или
И-И—(411)
п
что и требовалось доказать.
Существуют также и другие способы контроля вычислений Iv'2].
Вычислив среднюю квадратическую ошибку mпо формуле (409), среднюю квадратическую ошибку простой арифметической средины в соответствии с формулой (385) вычисляют по формуле
М=^=А/^1—. (412)
Средняя квадратическая ошибка самой средней квадратичеекой ошибки, вычисленной по формуле (409), в соответствии с формулой (199), равна
тт^—^=^. (413)
Разность (п—1) в формуле (409) называют числом избыточных (добавочных) наблюдений.
Практически достаточно как для формулы (145), так и для формулы (409) тт вычислять по формуле
Для оценки степени приближения действительного распределения ошибок к нормальному, как уже отмечалось в § 30, вычисляют коэффициент
соотношении средней квадратической и средней ошибок. В случае, когда истинные ошибки наблюдений неизвестны, среднюю ошибку можно вычислить по абсолютным значениям отклонений и, по формуле
^-?- (414)
п — 0,5
Формула (414) получена на основании формулы, предложенной Петерсом
1,25-?. (415)
л — 0,5
В основу вывода формулы (415) положена теоретическая связь между средней и средней квадратической ошибками, выраженная формулой