Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где
п
В силу равноточности наблюдений в формуле (382) можем принять
"1H = "1**= ' ¦ ¦ =*т*„ = т'> (384)
следовательно. Обозначим
Итак, средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины меньше средней квадр этической ошибки одного наблюдения а корень квадратный раз из числа наблюдений.
Формула (385) имеет весьма важное значение и широкое применение в практике оценки точности наблюдений.
Однако следует иметь в виду, что увеличение числа наблюдений п с целью повышения точности окончательного результата — простой арифметической средины — должно быть ограничено разумными пределами, обусловленными наличием в результатах наблюдений систематических ошибок. Так, например, совместное влияние случайных ошибок наблюдений и постоянной систематической ошибки или остаточного влияния систематических ошибок, что <;ути дела не меняет, может быть выражено формулой
где а — систематическая ошибка.
Очевидно, что при л,іором числе п, как бы велико оно ни было, ЛГ не может стать меньше а. Отсюда следует, что и число повторных наблюдений я сверх некоторого предела не приводит к повышению точности простой арифметической средины. Так, при измерении углов одноминутным теодолитом точность измерений практически не повышается после 8—10 повторных измерений, так как при дальнейшем увеличении числа приемов влияние систематических ошибок (центрировка, приборные ошибки и пр.) начинает заметно превышать влияние ошибок случайных.
Таким образом, чтобы повысить точность окончательных результатов измерений, необходимо выбрать соответствующий при-
Ш
и окончательно запишем
(385)
(386)
бор, правильно установить число измерений и организовать эти измерения надлежащим образом, например распределить наблюдения на разное время и т. л. В этом случае увеличение числа приемов может повысить точность. При сравнении же по точности двух однотипных приборов следует сравнивать показатели точности одного измерения (например, средние квадрат и ческие ошибки одного измерения т) олн показатели точности (например, M) арифметических среди.*/, пагученных из равного числа измерений, выполненных сравниваемыми приборами.
После оценки точности арифметической средины производится запись х ±М. Границы, в которых может быть заключено точное значение измеренной величины, с вероятностью Ф (/) равны
P Гх-taM^Х<х + faM) = Pa.
Например, из 12 измерений угла получено значение х = - ЬГ2і'ч4,1", M = 0,75". С вероятностью Pa = 0,9973 измеренный угол заключен в пределах
P (57 23'42,4"<Х^57' 23'47,0") - 0,9973.
§ 38. ОТКЛОНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ От ПРОСТОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
СРЕДИНЫ
При оценке точности результатов наблюдений формулу (145)
-У?
в большинстве случаев использовать не представляется возможным, так как точное (истинное) значение наблюдаемой величины неизвестно. В силу этого, следовательно, невозможно вычислить истинные ошибки
A1- Jr1--X,
необходимые для вычисления суммы (A3I в упомянутой формуле. Простую арифметическую средину х можно вычислить всегда, Когда наблюдение одной и той же величины выполнено два и более раз. Для надежной опенки точности, в соответствии с формулой (199), необходимо, чтобы число наблюдений я удовлетворяло условию п >- 8-- 10.
Произведя п повторных наблюдений одной к той же величины, можно вычислить я отклонений результатов этих наблюдений от простой арифметической средины
-X1-X (1-1,2.. . . , п).
Задача состоит в том, чтобы получить формулу для оценки точности наблюдений, которая позволяла бы вычислять среднюю квадратнческую ошибку т по отклонениям Vt результатов равноточных
наблюдений одной и той же величины от простой арифметической средины. Прежде чем решить поставленную задачу, рассмотрим свойства отклонений Vc
Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений результатов равноточных наблюдений одной и той же величины от простои арифметической средины равна нулю при любом числе наблюдений, т. е. \и] = 0.
Докажем это свойство, для чего по определению Vi запишем
V1 = Xi-X,
*~Х'-Х: (387)
Vn=Xn-X. J
Суммируя левую и правую части равенств (387), получим
M -[х\ — пх. (388)
Но в формуле (388) сумма UJ = пх (по определению простой арифметической средины), следовательно,
|и] = 0. (389)
При вычислении отклонений Vi (387) часто используют округленное значение простой арифметической средины. Легко показать, что если ошибка округления х
P =X -їокрутлі
то условию (389) будет соответствовать
[V] = Rf,*. (390)
Свойство (389) или (390) чисто арифметическое и выполняется при любом распределении ошибок. Формула (390) используется для контроля вычислений простой арифметической средины х.
Второе свойство. Сумма квадратов отклонений результатов равноточных наблюдений от простой арифметической средины меньи/е суммы квадратов отклонений этих же результатов наблюдений от люббй другой величины, не ршінон простой арифметической средине, т. е. если х' х, то
И<И. (391)
