Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V 49,Sl 9,81 3438' )
ms v1C+ 12,6«". (359)
Ответ. ms = 16 M (s = 24975 м).
Пример 9. Сторона треугольника вычислена по теореме синусов
, sin А
а = b--,
sin В
где b, А, В получены из независимых измерений со спеднимн квадратиче-скимн ошибками ть, під, тв.
Определить в общем виде среднюю квадратнческую ошибку <па вычнс--.теннои стороны а.
Решение. В соотнетствин с формулой (335) имеем
Ответ,
I / jhMywg / Ьсо^у^ Ґ _ bsin Л cos В у ^ . {ЭЮ)
(Здесь р — радиан; р° = 57,3°; р' = 3438'; р" = 206265").
Пр и м е'р 10, Изнесгпа средняя квадратическая ошибка измерения угла способом повторений "'а = 6", Определить среднюю квадратичес кую ошибку суммы двух смежных углов P1 и $г.
Решение. Составим функцию
I Фи pa) = pi + pa. (361)
Как известно, ошибки значений смежных углов, измеренных способом повторений, коррелятивно связаны (через систематическую ошибку общего направления). По исследованиям К- К- Скиданенко * /g g'= — 0,25. Применяй для оценки точности формулу (297), для функции (332) запишем
или
— v2"1! —2-0,25mjj - mp упв~ ss 7,3" . (362)
Если бы не была учтена корреляция ошибок, тогда было бы получено
Mf -= 8,5"
* Скиданенко Л'. Л'- Коррелятивные зависимые случайные ошибки в геодезических измерениях-—Геодезия и картография, 1958, № 10, с. 7—15.
Глава VII
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
§ 36. ПРОСТАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДИНА — НАИБОЛЕЕ НАДЕЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НАБЛЮДАЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть для определения значения некоторой величины X произведено п независимых равноточных наблюдений и получены результаты
Xi, х2, xs.....хп. (363)
С вероятностной точки зрения, полученные из наблюдений результаты (363) представляют ряд значений случайной величины. Наиболее надежный окончательный результат, являющийся, очевидно, функцией величин jf1, х2, хя, . . . , хл и приближенным значением неизвестной величины X, тоже является случайной величиной. Хотя понятие равноточности наблюдений общедоступно, заметим, что равноточными наблюдениями одной и той же величины или однородных величин называют такие наблюдения, которые выполнены одним прибором или приборами одинаковой точности, равным числом приемов, в примерно равных условиях и одним и тем же наблюдателем (или одинаково опытными наблюдателями).
С формальной вероятностно-статистической точки зрения, результаты наблюдений равноточны, если их средние квадратические ошибки одинаковы, т. е.
Tnx^m4 = KIr3= . . . =тХп^т. (364)
Перейдем к вопросу определения из результатов многократных
равноточных наблюдений наиболее надежного окончательного результата.
При рассмотрении вопроса о связи среднего арифметического с математическим ожиданием (§ 15) было установлено, что
вер. MmX = M[X), (117)
Доказательство справедливости формулы (117) базировалось на основании закона больших чисел — теореме Бернулли. Одним из важнейших следствий закона больших чисел является теорема Че-бышева об устойчивости среднего арифметического.
Теорема Чебышева. При достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.
P
M(X)
п
<8 >1—б, (365>
где -L-*---л: — среднее арифметическое из результатов наблюде-п
нип (363), которое будем называть простой арифметической срединой и обозначать через л-; є и б — сколь угодно малые положительные числа.
Принимай во внимание, что математическое ожидание M (X) при отсутствии систематических ошибок многократных измерений одной и той же величины есть истинное значение случайной величины, которое мы выше обозначили через X, теорему Чебышева применительно к результатам равноточных наблюдений запишем в виде
P Ці —Х|<є|>1—б. (366)
Выражение «сходится по вероятности» означает следующее: при увеличении числа наблюдений п вероятность того, что значение случайной величины v к ее истинное значение X при отсутствии систематических ошибок многократных измерений одной и той же величины будут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину е, сколь угодно близка к единице. Таким образом, исходя яз теоремы Чебышева, в качестве приближенного значення неіи-всетной величины X, если получены результаты независимых равноточных наблюдений (363), следует рекомендовать простую арифметическую средину.
Формулу (117) можно доказать также чисто арифметически, опираясь на свойство компенсации случайных ошибок, согласно которому
вер. Iim -— 0.
В самом деле, записав ряд истинных ошибок
X1-X = A1, v2—.V -A2,
(367)
х„-Х - An
и сложив левые и правые части равенств (367), имеем
И — пХ = \&\. (368)
Разделив на п число наблюдении — левую и правую части (368), получим
-н_х = -?1. (369)
и п
Или, по свойству компенсации случайных ошибок, принимая обозначение
'х - . (370)
п
будем иметь
вер. :im.x-X (371)
Выражение (371) отражает так называемый принцип арифметической средины, сущность которого может быть сформулирована следующим образом: при числе равноточных наблюдений одной и той же величины неограниченно большом и при отсутствии систематических ошибок простая арифметическая средина стремится к истинному значению.
