Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из корреляционного анализа известно, что коэффициент корреляции
S (*; — *)(.".- у)
с учетом чего нетрудно установить, что, приравняй
Ox * ITt1. оу л; тИ, Xt —х ^ Ax,, //, — у Ду,-,
получим
[AxAy]
л-* м
гх,у"гх1п,,,
(330)
где r,.v— коэффициент корреляции между X и у.
Формула (328) с учетом выражений (329) и (330) примет вид
(331) 1I)S
Окончательно
+Ш'л+ • • • • w
Таким образом, средняя квадратическая ошибка функции коррелятивно зависимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функции по каждому из аргументов на средние квадратические ошибки соответствующих аргументов и удвоенных произведений частных производных на соответствующие средние кьадратнческие ошибки попарно зависимых аргументов и коэффициенты корреляции паркой зависимости.
Для практического использования формулы (332) коэффициенты корреляции попарно зависимых аргументов должны быть определены из специальных исследований.
§ 34. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ НЕЗАВИСИМЫХ АРГУМЕНТОВ
При организации наблюдений одним из основных требований является обеспечение таких условий, при которых результаты многократных наблюдений одной и той же величины {или разных величин) были бы по возможности независимыми один от другого. Это требование не имеет в научной практике точных рамок и исчерпывающих указаний, которые позволяли бы обеспечить полную независимость результатов наблюдений. Тем не менее любая методика наблюдения в той или иной мере рассчитана на выполнение этого требования.
Во многих случаях, особенно когда есть возможность рассредоточить наблюдения во времени или поручить их выполнение разным наблюдателям, пли выполнить разными приборами, эти результаты практически можно считать независимыми.
Стремление обеспечить независимость результатов наблюдений вполне понятно: ведь все вероятностно-статистические расчеты в теории ошибок базируются на гипотезе, что случайные ошибки подчиняются нормальному закону, а математическое ожидание M (А) = 0.
Исходя из этого, обратившись к удвоенному произведению в формуле (328) для независимых случайных величин, по пятому свойству математического ожидания (125) и теореме (117) можем записать
вер. Hm = M (AxAy) (Ax) M (Ay). (333)
Но по третьему свойству случайных ошибок
M(A) =0.
по
Следовательно,
Формула (332) с учетом (334) для функции независимых аргументов примет вид
-=V(^H+№*-.¦ -чах- •
Таким образом, средняя квадратическая ошибка функции независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функции по каждому и.і аргументов на средние квадрат»ческие ошибки соответствующих аргументов.
Формулы (332) и (335) решают поставленную в § 32 задачу оценки точности функций независимых и зависимых аргументов полностью, г, е. все другие функции могут рассматриваться при оценке точности как частные случаи функции общего вида (318).
В классической теории ошибок перед рассмотрением вопроса об оценке точности функции общего вида рассматривают простейшие случаи ([22], стр. 61—68) оценки точности функций.
I. u=kx.
2. u=x±ij.
3. u-^x±y±z.
4. ы-=*±г/± . , . ±w.
5. U=^X-JZk2If]+ . . . ±fc,a'.
Посмотрим, как решается вопрос об оценке точности функций (случаи 1—5, если аргументы независимы один от другого, а средние квадратические ошибки m„ me, . . ., mw и коэффициенты kt, k2, . . . , Un известны).
Применяя формулу (335), получим для каждого из указанных случаев.
1. Пусть
и= for. (336>
Даны х, к, тх. Тогда
/day г m«=i — \ nix.
4-(.
dx Jo
Ho
следовательно,
dx ~K
та=кт,. (337)
111
2. Пусть
Датл х, у, mir ти. Тогда
2 ( ди v г , (да \2 г
Но
следовательно,
3. Пусть
да _ j би _ j_ 3* 'Sy
/4 = т* fmj,
mu = У-r- mi
Даны г/, г, тд, my, тг. Тогда
1v2 /duv г , (ди\ ,2
2 ~-~/Jti\2 2 ґди\- 2
т"-ы.......
Ho
следовательно,
4. Пусть
ди . ди _, ди _ .. З* Зі/ Зг
m« = 4- ml f- mi
m
Дани х, if.....щ, тх, т„.....m„,. Тогда
V Зж /а V Зу /о V да" /о
Но
следовательно,
Лі і Зи Зи
дх ' Oy = 1' ' ' ' ' dw = 1'
ml--- ml+ ml -У . . . f /я?,
mu Vm^ -|- 4- . . .4-/?,.
В частном случае при тх = тм = . . . /? — т имеем
Inn = Ta-SJn , (344)
где п — число аргументов, усть
и = kiX, ± к%ц ± . . . + knw. (345)
Даны х, у, ... , w, A1, k2, . . . , An, тх, т„, . . . , mw. Тогда 2 ( ди У 2 С ди у 2 , , { ди у 2
Но
іЗи , ди с ди ,
—— = «і. —— =?. • ¦ ¦ . -г— ^ К\ сЬ: df/ (to
следовательно
ml- k\tn2z klnfy-\- . . . -\-klmi,
mu-x/kWx-\-ki>ni-r . . . +kWw (346)
В частном случае при mx, = m,t - . . . ~mw-m имеем
ти--т VfH"- (347)
§ 35. ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ
ВЕЛИЧИН
Приме р. 1. Дана функция
и = -^— г, (348)
где Jr1 у, г — независимые аргументы, полученные из наблюдений со средними квалратическими ошибками %, Шу, тг. Определить ти. Решение. По формуле (335) имеем
