Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 35

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 70 >> Следующая


и = -.

cos а

где х, у, г, t, а — аргументы, полученные из измерений со средними квадра-

тическими ошибками тх, ту, тг, ті, та. Здесь ответ при определении ти не является очевидным.

Сформулируем задачу в общем виде. Дана функция

"-¦=/(*, у. *. • ¦ ¦ . »),

где х, у, г, ... , w — наблюденные аргументы, точность которых характеризуется средними квадратическими ошибками тх, ту, тх, . . . , мш. Необходимо найти среднюю кеадратическую ошибку функции и в зависимости от ошибок аргументов х, у, г, . . . ,w (определение самой величины функции и не требует рассмотрения, хотя очевидно, что в первую очередь вычисляется сама функция и, затем ее средняя квадратическая ошибка). При решении поставленной задачи могут встретиться два случая: зависимых аргументов п независимых аргументов.

В качестве меры парной зависимости между случайными величинами (например, х и у, у и г и т. д.) используем коэффициент корреляции г (221), т. е. будем полагать, что если случайные величины и связаны, то связь эта прямолинейна.

Из свойств коэффициента корреляции г (§ 20) следует, что если т = 0, то прямолинейная связь между х и у отсутствует.

Как известно, корреляционная связь по условию (225) считается установленной, если \г\ > 3 аг, причем

В силу этого, для случаев, когда г Ф 0, ио | г\<^3 и, или нижний предел \г\ [г|т|П, случайные величины хну также следует считать независимыми.

Л. Н. Большее, выполнивший перевод книги Б. Л. Ван дер Вар-дена «Математическая статистика» (M.,ИЛ, 1960), в примечании на стр. 362 отмечает: «Практически использование коэффициента корреляции в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда предполагается, что случайные величины распределены нормально. В общем случае коэффициент корреляции как мера зависимости может оказаться неудовлетворительным». Это важное обстоятельство необходимо иметь в виду при рассмотрении поставленной задачи.

§ 33. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ ЗАВИСИМЫХ АРГУМЕНТОВ

Итак, пусть дана функция

u-=f(x, у, z.....W), (318)

где х, у, г, . . . , w — попарно зависимые аргументы, полученные из наблюдений со средними квадратическими ошибками тх, тч, .....та

Обозначим: X, Y,r Z, . . . , W — истинные (точные) значения аргументов.

Необходимо определить ти — среднюю квадратическую ошибку функции и.

Придадим аргументам малые приращения Дх, Ay, Аг, .... Aw — истинные ошибки аргументов, т. е.

Ax — х — Х\ Ау=у~У; Az-z-Z;

Aw - w —- И".

(319)

В соответствии с этим функция и также получит приращение, которое назовем истинной ошибкой функции и обозначим через Дм.

([так. имеем

и + Au=f(x + Ax, у {-Ay, 2+ Az, . . . ,ю+Дда). (320)

Найдем линейную зависимость между малыми приращениями аргументов и функции, для чего и полном дифференциале функции (318) дифференциалы аргументов " функции заменим конечными приращениями. Полный дифференциал функции (318), как известно, равен

du --^-Ае-г--^-dy+ -—dz+ . - .+-$~dw, (321) дх ду д? dw

где

91 д} df df

дх ду дг - dw

— частные производные функции по каждому из аргументов.

Заменяя в формуле (321) дифференциалы истинными ошибками функции и аргументов, получим

Au=-2!-Ax 4- Хд„+^Д2+ . . . Jr^L\w + Ri (322) дх ду ді dw

где R — сумма членов, содержащих истинные ошибки Ах, Ay, Дг, . . . , Aw во второй, третьей и т. д. степенях.

Так как истинные ошибки Ах, Ay, Az.....Aw — величины

малые, с точностью, удовлетворяющей все запросы практики, членом R можно пренебречь.

При многократном измерении аргументов, например п раз, столько же раз можно получить и приращение функции. Итак, пренебрегая членом R1 можно записать

Au1 =

її

Ax1-

df дуі

JL ду,

ді дія.

Aw1; ¦ Aw1.;

Дц„--

З/

Axn 4-

Л</л г . . . +

df

¦Ati)..

Производные по соответствующим аргументам в разных измерениях практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов х0, yQ, . . . , w0, в качестве

которых можно взять, например, х0 = jet, у„ — yi.....W0 = W1

(¦їц Уіі ¦ . ¦ ¦ «'! — значения аргументов, полученные при первом измерении).

В соответствии с этим можем принять

д> ~ _ # _ ~ в/ l і" dm .

^r1

JL

дуі

дх2

JL

df

¦я V дц Л

д!

df

V За* Л

1324)

С учетом формулы (324) выражение (323) примет вид

а"'-ш„л^ш>- ¦ ¦+(-?-).^(3*)

2, 3.....л).

Для перехода к средней квадр этической ошибке функции и примем во внимание, что

,ЛІг, M І&Ц*)*;^. (326)

п

Возведем в квадрат левую и правую частії выражения (325) для і = 1. 2.....л:

J 08

-2ШШД^-- <327)

V й /о V од /о V otu /в

После суммирования по столбцам в формулах (327) и деления левой и правой частей на число измерений п имеем

[Au2] / df У [^2I У У ГАу"]

Л \ дх /О п V f)y л /г

(і/ у , 0/ д\ \ ( df__\ [АхАу\

\ і!» /о п \ дх Л \ Si/ п

(32S)

Но в формуле (328), по определению (326),

[Au2

2

- та\

[Ax-

- т,,\

(329)

Определим, чему равны удвоенные произведения в правой части выражения (328).
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed