Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
и = -.
cos а
где х, у, г, t, а — аргументы, полученные из измерений со средними квадра-
тическими ошибками тх, ту, тг, ті, та. Здесь ответ при определении ти не является очевидным.
Сформулируем задачу в общем виде. Дана функция
"-¦=/(*, у. *. • ¦ ¦ . »),
где х, у, г, ... , w — наблюденные аргументы, точность которых характеризуется средними квадратическими ошибками тх, ту, тх, . . . , мш. Необходимо найти среднюю кеадратическую ошибку функции и в зависимости от ошибок аргументов х, у, г, . . . ,w (определение самой величины функции и не требует рассмотрения, хотя очевидно, что в первую очередь вычисляется сама функция и, затем ее средняя квадратическая ошибка). При решении поставленной задачи могут встретиться два случая: зависимых аргументов п независимых аргументов.
В качестве меры парной зависимости между случайными величинами (например, х и у, у и г и т. д.) используем коэффициент корреляции г (221), т. е. будем полагать, что если случайные величины и связаны, то связь эта прямолинейна.
Из свойств коэффициента корреляции г (§ 20) следует, что если т = 0, то прямолинейная связь между х и у отсутствует.
Как известно, корреляционная связь по условию (225) считается установленной, если \г\ > 3 аг, причем
В силу этого, для случаев, когда г Ф 0, ио | г\<^3 и, или нижний предел \г\ [г|т|П, случайные величины хну также следует считать независимыми.
Л. Н. Большее, выполнивший перевод книги Б. Л. Ван дер Вар-дена «Математическая статистика» (M.,ИЛ, 1960), в примечании на стр. 362 отмечает: «Практически использование коэффициента корреляции в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда предполагается, что случайные величины распределены нормально. В общем случае коэффициент корреляции как мера зависимости может оказаться неудовлетворительным». Это важное обстоятельство необходимо иметь в виду при рассмотрении поставленной задачи.
§ 33. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ ЗАВИСИМЫХ АРГУМЕНТОВ
Итак, пусть дана функция
u-=f(x, у, z.....W), (318)
где х, у, г, . . . , w — попарно зависимые аргументы, полученные из наблюдений со средними квадратическими ошибками тх, тч, .....та
Обозначим: X, Y,r Z, . . . , W — истинные (точные) значения аргументов.
Необходимо определить ти — среднюю квадратическую ошибку функции и.
Придадим аргументам малые приращения Дх, Ay, Аг, .... Aw — истинные ошибки аргументов, т. е.
Ax — х — Х\ Ау=у~У; Az-z-Z;
Aw - w —- И".
(319)
В соответствии с этим функция и также получит приращение, которое назовем истинной ошибкой функции и обозначим через Дм.
([так. имеем
и + Au=f(x + Ax, у {-Ay, 2+ Az, . . . ,ю+Дда). (320)
Найдем линейную зависимость между малыми приращениями аргументов и функции, для чего и полном дифференциале функции (318) дифференциалы аргументов " функции заменим конечными приращениями. Полный дифференциал функции (318), как известно, равен
du --^-Ае-г--^-dy+ -—dz+ . - .+-$~dw, (321) дх ду д? dw
где
91 д} df df
дх ду дг - dw
— частные производные функции по каждому из аргументов.
Заменяя в формуле (321) дифференциалы истинными ошибками функции и аргументов, получим
Au=-2!-Ax 4- Хд„+^Д2+ . . . Jr^L\w + Ri (322) дх ду ді dw
где R — сумма членов, содержащих истинные ошибки Ах, Ay, Дг, . . . , Aw во второй, третьей и т. д. степенях.
Так как истинные ошибки Ах, Ay, Az.....Aw — величины
малые, с точностью, удовлетворяющей все запросы практики, членом R можно пренебречь.
При многократном измерении аргументов, например п раз, столько же раз можно получить и приращение функции. Итак, пренебрегая членом R1 можно записать
Au1 =
її
Ax1-
df дуі
JL ду,
ді дія.
Aw1; ¦ Aw1.;
Дц„--
З/
Axn 4-
Л</л г . . . +
df
¦Ati)..
Производные по соответствующим аргументам в разных измерениях практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов х0, yQ, . . . , w0, в качестве
которых можно взять, например, х0 = jet, у„ — yi.....W0 = W1
(¦їц Уіі ¦ . ¦ ¦ «'! — значения аргументов, полученные при первом измерении).
В соответствии с этим можем принять
д> ~ _ # _ ~ в/ l і" dm .
^r1
JL
дуі
дх2
JL
df
¦я V дц Л
д!
df
V За* Л
1324)
С учетом формулы (324) выражение (323) примет вид
а"'-ш„л^ш>- ¦ ¦+(-?-).^(3*)
2, 3.....л).
Для перехода к средней квадр этической ошибке функции и примем во внимание, что
,ЛІг, M І&Ц*)*;^. (326)
п
Возведем в квадрат левую и правую частії выражения (325) для і = 1. 2.....л:
J 08
-2ШШД^-- <327)
V й /о V од /о V otu /в
После суммирования по столбцам в формулах (327) и деления левой и правой частей на число измерений п имеем
[Au2] / df У [^2I У У ГАу"]
Л \ дх /О п V f)y л /г
(і/ у , 0/ д\ \ ( df__\ [АхАу\
\ і!» /о п \ дх Л \ Si/ п
(32S)
Но в формуле (328), по определению (326),
[Au2
2
- та\
[Ax-
- т,,\
(329)
Определим, чему равны удвоенные произведения в правой части выражения (328).