Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
j і е
-/.¦'A- ¦
¦ 2Л'Де
Интегрируя формулу (311) по частям, получим
п/іУп j
2„—Л'Д-
Однако
с
Следовательно,
Чт)"
3m2 3m4
2пкг n
Аналогично можно доказать и справедливость выражения (309).
Учитывая, что среднее значение Д| при п большом обращается в nr, сумма псех удвоенных произведений в формуле (305) согласно (309) и (306) будет равна
І?. "<"-'> ^ ^1д«. (312)
па 2 п
Подставляя выражения (307) н (312) в формулу (305), получим
п
\f Гаэ| Vi 2/п4
п
17 [Д21 42I
Подстапин значение Л'Г Jl--—I j
из формулы (313) в (30'!), имеем
D f/jr) ¦=-ї- + т4 - от4 =-(314)
її
Отсюда средняя квадратическая ошибка т
.— /"2
mmJ --¦VDi т2) - пг] д/ —
Из формулы (315) следует
d(m ) dm.
откуда
тт =-dm-, =-dm* =-¦. (316)
d \ mi I 2т dm 2т
Подставляя в формуле (316) значение тт. из формулы (315) и заменяя нензисстпое значение и, через т, получим
ffl»~vir (3,7)
Следовательно, если средняя квадратическая ошибка т вычислена по ограниченному числу ошибок п, то средняя квадратическая ошибка самой средней квадратической ошибки, обозначенная выше через тт, в -\j2n раз меньше величины т.
Пример ы. 1. Выполнить исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение вероятностей.
При испытании дальномера двойного изображения типа ДНІЇ получено 36 значении пара.плакіического угла (S;, помещенных в табл. 18. Точное зна-
чение углатРо вычислено на основании линейных измерений. По данным табл.їів вычислить:
истинные ошибки Д;;
среднюю квадратическую ошибку т =
Ро=573,23"
Таблица 18
№ п/п
Углы, R1-
Истинные ошибки.
№ п/п
Углы В;
Истинные ошибки. \-Pj-P0
1
573,5"
+27- !О"2
19
573,7"
+47-10-1
2
3,2
—3
20
3,0
—23
3
3,1
—13
21
3,1
—13
4
2,7
—53
22
2,9
—33
5
3,6
+37
23
3,3
+ 7
6
3,0
—23
24
3,2
—3
7
2,8
-43
25
3,0
—23
8
3,4
+ 17
26
3,3
+ 7
9
3,2
—3
27
3,6
+37
10
4,4
+ 117
28
4,0
+77
11
2,8
—43
29
2,7
—53
12
3,5
+27
30
2,8
-^3
13
2,5
—73
31
3.4
+ 17
14
3,2
—3
32
4,4
+ 117
15
3,1
—13
33
2,8
—43
16
4,1
Н-87
34
2,8
—43
17
2,7
—53
35
2,6
—63
18
3,5
+27
36
3,0
—23
36
= 79404-10-4
S +
648.10~2
і
2_
686 -10-2
с оценкой ее надежности тт —
V2^T '
среднюю и срединную ошибки Э и г;
теоретическое k„ и действительное g число ошибок п интервалах через
± 0,5 т от — Д = — 3,0 т до + Д — + 3,0 т:
разности g—k0;
, , , т т
коэффициенты S1 ——, й2 = ¦— и сравнить их с теоретическими 1,25
и 1,48 соответственно.
Решение. Истинные ошибки Д,- даны в табл. 18 и выражены в секундах. Вычислим
79 404- Ю-4 „ , „ 0 47"
- 0,47"; тт = ,'2L=- =-- 0,056";
36
V2.36
36
При определении срединной ошибки получено для значения № 18—0,27", а для Ns 19 — 0,33". Поэтому имеем г = 0,30".
Составим табл. 19 и в ней вычислим теоретическое число ошибок ?„.
n = 36; m = 0,47*
Таблица 19
Иитерв в общей виде
ал A1.
в секундах
Лргум*и г т
Pi = Ф U1)
*0 = "1^-Р,-1>
0,5т
0,24
0,5
0,383
0,383
14
1,Om
0,47
1,0
0,683
0,300
11
1,Sm
0,70
1.5
0,867
0.184
7
2,0т
0,94
2,0
0,954
0,087
3
2,5т
1,17
2,5
0,986
0,034
1
3,0т
1,41
3,0
0,9973
0,0093
0
Контроль
0,9973
36
Примечание Ф выбрано на таблиц прнл, ].
Подсчитаем по табл. 20 действительное число ошибок g и разности g—Ii0-Далее вычислим
0,?7"
0,30"
Спедем в табл. 21 ординаты, вычисленные по таблицам прил. 3.
В результате выполненного исследования рассматриваемый ряд ошибок можно считать удовлетворяющим нормальному распределению, так как он обладает следующими свойствами.
а) среднее арифметическое из алгебраической суммы ошибок практически равно нулю *
[Д] - 3fl" ¦JO-*
36
= — 1,1"-10—=;
Таблица 20
Интервалы через ±0.5 m
Числа ашкбак
от — U с= — Jm до 4- U = + J т
R
*.
в — fti>
От 0 до 0,24"
15
14
+ 1
> 0,25 » 0,47
12
11
+ 1
> 0,48 » 0,70
4
7
—3
» 0.71 а 0,94
3
3
0
» 0,95 » 1.17
2
1
-и
» 1,16 > 1,41
0
0
0
Более 1,41
0
0
0
Контроль
36
36
0
ripHMtiAHHe. g определено непосредственным подсчетом по дай» ным таблицы, приведенным в условии задачи.
* Исходя из опыта, часто указывают, чго отклонение от нуля среднего арифметического из алгебраической суммы случайных ошибок при достаточно большом ик числе может считаться допустимым, если выполняется
б) ни одна из ошибок ряда не превышает 3,0 т;
в) разности g—k„ при данном числе ошибок можно считать несущественными;
г) коэффициенты A1 и кг сходятся с их теоретическими значениями удовлетво рител ь но-
2. Проанализируем результаты исследования опытных рядов ошибок с использованием метода моментов, приведенные в табл. 22, Исследование производилось в рядах ошибок определения отметок точек поЧарте крупного масштаба.
