Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 32

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 70 >> Следующая


§ 30. СВОЙСТВА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ И ТОЧНОСТЬ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Следует отметить, что для оценки точности наблюдений наиболее часто применяют среднюю квадратическую ошибку т, которая по сравнению со средней и срединной обладает следующими преимуществами.

1. На величину средней квадратической ошибки т наибольшее влияние оказывают большие по абсолютной величине ошибки, т. е. те, которые и характеризуют реальную точность наблюдений. Это происходит вследствие того, что при вычислении т суммируются квадраты ошибок Д;, в то время как при вычислении, например, средней ошибки суммируются первые степени Д; по модулю. При большом п в последнем случае происходит сглаживание, т. е. крупные ошибки выступают в значении 0 в завуалированном виде.

2. Средняя квадратическая ошибка связана с предельной простыми соотношениями:

с вероятностью 0,95 .... Д„ред ^ 2т; с вероятностью 0,9973 .... Д|ф,.д< Зт.

Выражения (293) принято называть допусками, причем в качестве служебного допуска рекомендуется:

с вероятностью 0,99......Дп,ед 2,5т; (294)

для теоретических расчетов ...... ДПред < Зт. (295)

Пример. Вычислить наиболее возможное (пероятнейшее) число ошибок из общего их числа л:

р (Да ^ 2m) \ при п = 100,

р{Д3_5-2,5т) I

P Im) при п - 1000.

Решение. Если по оси абсцисс (рис. 12) отложить значение

т

то интеграл вероятностей Ф (/,) представляет вероятность появления ошибок в пределах от 0 до ± (.

Так как общая площадь между осью абгшсс и кривой Гаусса рапна 1, то, следовательно, вероятность ошибок, не меньших заданного значения Л;, представляет сумму заштрихованных площадей, или I—Ф (/,).

Определяя Ф (I1) по таблице, приведенной в прилож. 1, сведем результаты вычислений в табл. 17.

Полученные результаты хорошо иллюстрируют первое свойство случайных ошибок (§ 23).

3. Средняя квадратическая ошибка определяется достаточно надежно при ограниченном числе наблюдений.

(293)

Надежность средней квадратичеекой ошибки характеризуется величиной

т„

л! In

(296)

где тт — средняя квадратическая ошибка самой средней квадратичеекой ошибки.

Пример. Дано

= 3.0;

3,0

У2-9

=- п,8.

Пол\чаем надежность (с доверительной пероятпосгыо Ра — 0,68) т — = 3,0 ± 0,8.

При оценке точности по ограниченному числу наблюдений принято считать ее надежной, если средняя квадратическая ошибка т определена с ошибкой тт, не

1 і У

превышающей [— т, т. е.

>пт < — т. 4

(297)

Условие (297) выполняется при

п > 8. (298)

Следовательно, минимально необходимым числом наблюдений для надежной оценки точности является п = 8.

Таблица 17

•5
?
с
41
с
JJ
CJ й
I'
т?
<Г| є Il
е-
а
?_ <Г
Cl
Чиоло ошибок. прены тающих заданные,
U0 «.>]
Число ошибок, укладываю -
UlH XC я
в пределах от 0 до ±ДА-
Контроль

100
Im
1
0,6827
0,3173
32
08
100

100
2/п
2
0,9545
0,0455
5
95
100

100
2,5т
2,5
0,9876
0,0124
1
99
100

1000
3,Om
3,0
0,9973
0,0027
3
997
1000

Дадим формуле (296) теоретическое обоснование. Средняя квадратическая ошибка т, вычисляемая по формуле Гаусса

4 Заказ № -177

97

при ограниченном числе наблюдений п ошибочна, как указано выше, вследствие ограниченности этого числа. Задача состоит в том, чтобы получить выражение, при помощи которого можно было бы оценить надежность средней квадр.ітической ошибки, вычисляемой по формуле (299). Пусті, случайное значение ошибки (299), вычисляемой по ограниченному числу п, будет т, а «точное» его значение (при п оо) — ш,.

Будем при этом иметь п ПИД}', 'ГТО

D I т! I == о= - mi.

(300) (301)

Итак, по формуле (300) с учетом формулы (299) 1&Ч

D I ю-'I =_ Af

¦ - Af (яг)

= м {{ШХІ^м^Шу^ + м («;).

Но

Следовательно, из формулы {302J имеем Найдем математическое ожидание

(302)

(303)

(304)

M

2Д2

A1+U4' + . . . + ^) +

+

(%4

(305)

Число членов, представляющих удвоенные произведения в правой части выражения (305), равно

в(л-1) 2

(п-1) + (п-2)+ . . . +2+1 Необходимо также учитывать, что

(ЗОЄ)

{->і + 4!+ - - - -т-^і^У^- = ^ = ^, (307) І пг ' in =J n n n

[=1

гае |it — четвертый центральный момент, рзвньїй, как изїієстію,

P4 = 3$ = Sm* . (308)

Справедливость формули (307) нетрудно установить из доказательства, попользовавшись для этой цели понятием математического ожидания M ¦

Удвоенные произведения а формуле (305) равны (при п большом) і 2Л =

Ш+Ц+ . . . ті;і| = %(л-і):

2w4

\ 2т4

) = -?¦

(309)

Итак,

ЛІ [-=—1= — Af f a4J = -і- у A4P 1— у AAe'-h-s'dA .

\ и ) п • ' п ^f-1 п Vn

гргл пред

(310)

Переходя от суммирования в формуле (310) к интегрированию и расширив пределы интегрирования до ± оо (как мы уже поступали ранее), запишем

¦'dA .

\ п J п л/л (J

(— -— |, полупи -2hV

\ п / nh Vя ft

(3N)

так he* d|f-h;u1)= - 2h2Ae~W'b*dA, JA =
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed