Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
г — - = 7,0 мм.
При нормальном распределении вероятностей ошибок наблюдений средняя квадратическая ошибка т, с одной стороны, и средняя в и срединная г ошибки, с другой стороны, связаны между собой определенным образом. Так как эти связи имеют очень важное значение для решения ряда теоретических и практических вопросов, в частности для оценки степени приближения действительного распределения к нормальному, установим форму связей между т и и, т и г.
§ 27. СВЯЗЬ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИ ЧЕСКОЙ ОШИБКИ СО СРЕДНЕЙ ОШИБКОЙ
Для установления связи между т и # воспользуемся математическим ожиданием абсолютного значения случайной ошибки | Д :. По определению математического ожидания имеем
М<|лп _їЗД|Д|Р, (276)
Лпред
иди с учетом того, что
h —ft-л- .. р= —е dA,
для случайной ошибки как непрерывной случайной величины запишем
+ Лгред
М<| Д i) = -^. \ |Д|е-",д'йЛ. (277)
пред
Расширив пределы интегрирования до ± со, с учетом четности подынтегральной функции из формулы (277) получаем
ее
JW (i Д i) - -^- [\A\e-h'&'d&. (278)
Для интегрирования в формуле (278) подведем величину — Л2Д2 под знак дифференциала
d(—h*A*) = —2h2AdA,
откуда
d\ — d(-*aAa) . (279)
- 2Л*Д
Подставив значения dA из (279) в формулу (278), получим м (і д і) = -*L_ \\ л іе-^"* = __!_ f e-ft4td (-/Ai')
v^ "3^ WiT1)
пли
г»
,VI (i Л i) --l— \ e~h'&''d(- Л2Д2) =--е-^"'
ft Vn 5' ft V-1I
(280)
Подставляя верхний и нижний пределы в формулу (280), имеем /VI (І Д I) = 0 - ( - -^—Л = —Цг- - (281)
h Vn / ft V« На основании формулы (117), при п неограниченно большом средняя ошибка в пределе
0-М(| А i). (282)
Тогда формула (281) примет вид
h - -(283)
Нл/п
Но так как h =--=, то на основании (283)
"= 1/1*
или
т = 1,253314 ... 0. (284)
Для практических целей достаточно принять
mat 1,250. (285)
§ 28. СВЯЗЬ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ СО СРЕДИННОЙ ОШИБКОЙ
По определению, вероятность срединной ошибки
1
p(M<r)= 2
Если воспользуемся нормированной срединной ошибкой, то интеграл
' -1
ф(!^_ _LW__H_f , "'dx,_±. (286)
Но так как в этом случае
Ф (0 —--U-— + — - - ¦ . v —, (287)
то, ограничившись пока членом с P в формуле (287), вычислим коэффициент t, связывающий г и т,
-^-'0-^-)-4-
В качестве первого приближения t для вычисления значения скобки в формуле (288) примем
/'^JbpvSF. (269)
Подставив Ґ из (289) в формулу (288), имеем
, 0,500 Ii^— п гт
і я? —---—----У2л 0,67.
6
Далее,
-oW^-
2А_ 0.67S 0,67' х 1 '
I 6 + 40 J
Взяв несколько приближений, можно вычислить, таким образом, коэффициент t = —— с любой заданной точностью.
т
Более просто значение t можно определить по таблицам, приведенным в прил. 1. Найдя в таблицах значение интеграла вероятностей, равное 0,5000, находим ( — 0,6745.
Сл едов а тел ь но,
1
т =--г,
0,6745 . . .
или
т= 1,4825 ... г. В большинстве случаев достаточно
т=-1,48л (291)
§ 29. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ш, Ї к г ДЛЯ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ! ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К НОРМАЛЬНОМУ
Как уже было отмечено выше, формулы (285) и (291) применяют при теоретических расчетах и при оценке степени приближения действительного распределения ошибок к нормальному.
Для этих целей, вычислив т, Ь, г по данным опытного ряда, вычисляют коэффициенты
k1 = f- ; ft, ., . (292)
Сравнивая вычисленные по формулам (292) коэффициенты с их теоретическими значениями (к, = 1,25, кг = 1,48), по отклонениям (к1выч—1,25) и (?2ВЬ1Ч—1,48) судят о степени приближения действительного распределения ошибок к нормальному.
Пример. При исследовании точности съемки рельефа (см. табл. 12) для 12 участков были получены: средняя квадратическая, средняя и срединная ошибки, приведенные в табл. 16, По данным табл. 16 вычислить коэффициенты kt и k? и сравнить их с теоретическими значениями.
Таблица 16
Uo мерл участков
Критерии ТОЧНОСТИ, CM
Коэффициенты и их истинные ошибки
Число ошибок на участку
т
її
г
*|
ift.
дуг.
і
3,5
2,8
2,0
1,25
11,00
1,75
-0,27
220
2
5,2
4,4
4,0
1,18
—0,07
1,30
—0,18
161
3
5,4
4,1
4,0
1,32
+ 0,07
1,35
—0,13
115
4
7,0
5,3
4,5
1,32
+ 0,07
!,55
+0,07
100
5
8,0
6,7
5,5
1,20
—0,05
1,46
-0,02
59
6
4,0
3,2
2,5
1,25
0,00
:,60
-4)J2
95
7
4,7
3,6
3,0
1,31
-1-0,06
1,57
+0,09
93
8
5,1
4,4
4,0
1,16
—0,09
1,28
-0,20
104
9
5,4
4,3
3,5
1,26
¦! 0,01
1,54
+0,06
115
IO
5,4
4,1
3,5
1,32
-1-0,07
1,54
+ 0,06
353
Il
8,0
6,4
5,0
1,25
0,00
1,60
+ 0,02
236
12
8,1
6,5
5,5
1,24
—0,01
1,47
—0,01
108
Вычисления, выполненные в табл. 16, показывают, что коэффициенты ft, и k2 достаточно хорошо совпадают с их теоретическими значениями. Большой разброс, соответствующий срединной ошибке, обусловлен тем, что этот критерий для оценки точности из вышеперечисленных трех (т, О и г) наименее надежен в силу способа его определения (как срединной ошибки).
