Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 30

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 70 >> Следующая


2ЛЭ

Ф" (A)= yo)I' =-^j=r

Ak

— С

(262)

Преобразуем правую часть производной it" (д) в формуле (262) и, приравняв ее к нулю, найдем значение переменной Л, обращающее вторую производную в нуль, т. е.

-^- е-*'д*(2йаЛй~]) -- 0. (263)

Условие (263) Судет выполнено, если один из сомножителей равен нулю. Из простого анализа левой части условия (263) вытекает, что единственно возможно

(2Л'гд2 —I)-(j. (264)

Из формулы находим

(265)

h у 2

Но так как мера точности

//і v 2

то с учетом этого по формуле (265) имеем

А-т. (266)

Таким образом, абсцисса точек перегиба .H1 и M2 (см. рис. 10) равна средней квадратичеекой ошибке.

Пятое свойство. Касательные к кривой и точках перегиба отсекают на оси абсцисс отрезки, равные удвоенной средней квадратичеекой ошибке (2т).

Докажем это свойство. Из рис. 10 следует, согласно четвертому свойству кривой, что отрезок прямой, концами которого являются начало координат (точка 0) и основание ординаты точки перегиба (точка M1), равен т. Для доказательства пятого свойства остается определить, чему равен отрезок

K1K2 -х-?

Из прямоугольного треугольника (VI1ZC1ZC2, в котором известны tgrp--<p'(A.), ¦I

у=-^е-^ (причем Д = т), (267)

имеем

tgq> - X (268)

х

или

ф' (А) = — -

х

Из формул (268) и (260) следует

k

-ft'і:

2AS

-h-a-

X - ±

(269)

В формуле (269), как известно,

і

H =

і v 2

Д =т.

следовательно.


У



, л,



V ^



А / /о


-л___

=-

X-т. (270)

В более общем виде пятое свойство формулируется следующим образом (122], стр. .)27): произведение абсциссы на подкасательную s ію-бой точке кривой ошибок, есть величина постоянная, равная квадрату средней квадратичеекой ошибки.

В вышеприведенных рассуждениях подкас? тельной является отрезок K1K* Й-14 точки кривой ,1I1), абсцисса этой точки OK1=-- т, но так как доказано, что K1K2 = т, то

0

Рис.

KAY OK1-т*. Для произвольной точки M можем записать

T1Ti-OT1 - тг.

(272)

Сопоставляя свойства кривої'' ошибок и свойства случайны*, ошибок (§ 2.1), легко установить между ними непосредственною связь.

В силу того, что кривая ошибок является частным случаем кривой нормального распределения, рассмотренные выше свойства кривой ошибок можно распространить на кривую нормального распределения с параметром п =- 1.

Выясним смысл и значение меры точности U. Если в формуле (257) для ординаты кривой ошибок принять Д = 0, то легко видеть, что ордината

у0 - _* (273)

Л/я

т. е, положение вершины кривой в полной мере определяется величиной Л.

Из формулы (273) нетрудно установить, что если йа<; Лг<; ft, (рис, 11), то параметру Zi1 соответствует более высокое положение BPi1HJHHbJ кривой ошибок и As — более низкое, чем параметр\ А.. Но так как площадь между кривой ошибок и осью абсцисс в пределах і со во всех трех случаях равна едншше, то большему параметр; соответствует более «узкая» в направлении оси ординат кривая, т. е. меньший разброс (рассеивание) ошибок, более высокая точность наблюдений. Таким образом, большему параметру A1 соответствует большая точность наблюдений, т. е. меньшие средние квадратнческие ошибки. Поэтому параметр Л и называют мерой точности. Для вычисления ординат кривой ошибок по формуле (257) можно воспользоваться таблицами, приведенными в прил, 3.

§ 26. ДРУГИЕ КРИТЕРИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ НАБЛЮДЕНИЙ

Кроме средней квадратИческой ошибки т, при оценке точности применяются иногда и другие критерии, а именно: средняя ошибка и срединная ошибка.

Средней ошибкой h называется среднее арифметическое из суммы абсолютных значений случайных ошибок, т. е.

в= (274)

л

где

[IAI) = IA1I T-|A2|-f . . . +|Д„|-

сумма абсолютных значений случайных ошибок.

Срединной (вероятной) ошибкой г называется такая величина, больше которой и меньше которой по абсолютной величине ошибки в ряде наблюдений равновозможны. Как следствие, вероятность срединной ошибки

P(IAKr)= (275)

Из определения срединной ошибки вытекает способ ее отыскания: если все полученные ошибки А,- (І — 1, 2, 3, ... , /;) расположить в ряд по убывающим или возрастающим значениям абсолютных величин, то срединная ошибка окажется в середине ряда при п нечетном или берется как среднее из двух ближайших ошибок, расположенных по обе стороны середины ряда, при п четном.

Именно по этой причине, т. е. исходя из способа отыскания, указанную ошибку и называют срединной.

Пример. Дан ряд случа(ін»х ошибок измерения размера некоторого изделия (ошибки в миллиметрах): + 8. — 1. + 13, — 5, +6. — 10. + 4.

Вычислить средним Й м срединную г ошибки.

Решние. Складывая абсолютные значения всех ошибок, получим [|Д| J = 47 мм.

47

Следовательно, Я——- = 6,7 мм.

7

Определим срединную ошибку, для чего запишем: 1, 4, 5, 6, 8, 10, 13. Так как п = 7 нечетное, середина ряда приходится на число 6; следовательно, г = 6 мм. Если бы измерений было 8 и, например, прибавилась бы еще ошибка, равная 10, то середина ряда пришлась бы в промежуток между ошибками 6 и 8; в этом случае
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed