Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. При исследовании точности съемки рельефа в разных условиях и на разных участках было получено 1759 ошибок обобщения рельефа при съемке. Не вдаваясь в природу происхождения этих ошибок, приведем табл. 12, по данный которой проследим закономерности ошибок в опытном ряду.
Как пидно из таблицы, во всех 12 опытных рядах ошибки обобщения рельефа хорошо отвечают свойствам случайных ошибок, а именно: почти не превышают величины, равной утроенной средней квадратической ошибки Зт; число положительных и отрицательных ошибок примерно одинаково; среднее арифметическое из алгебраической суммы случайных ошибок (245) во всех рядах может считаться малым по сравнению со средней кнадратиче-ской ошибкой т\ малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие.
T а б л и і! а 12
Нан^еноваки!.'
Номера участкоп
I
а
я
4
в
Средняя квадрати'іеская ошиб-
3,5
5,2
5.4
7.0
Й,0
4,0
4,7
ка обобщения рельефа, см
Число всех ошибок
220
IGl
115
100
59
95
93
Число положительных ошибок
І12
75
48
45
30
59
45
Чис.-о отрицательных ошибок
95
82
63
50
29
33
40
Число нулевых ошибок
13
4
4
5
0
3
8
Число ошибок в интерпалах:
0—т
102
108
81
73
37
69
66
т—2т
47
4Г>
29
21
21
23
20
2т—Зт
9
7
5
5
1
3
7
Число ошибок, превышающих
2
0
0
1
0
0
0
по абсолютной величине Зт
Сумма положительных ошибок,
352
351
248
307
189
192
182
CM
Сумма отрицательных ошибок,
254
358
220
225
208
113
154
CM
Алгебраическая сумма ошибок,
-1-98
—7
-28
-)-82
— 19
+79
-!-28
CM
Среднее арифметическое из
-1-0,4
0
1-0,2
+0,8
—0,3
+0,8
-1-0,3
суммы ошибок. CM
Продолжение табл. 12
Наимсн ова нис
Номера участков
В с ег о
8
0
10
Il
Средняя квадратическая ошиб-
5,1
5,4
5,4
8,0
8,1
ка обобщения рельефа, см
Число всех ошибок
104
115
353
236
108
1759
Число положительны^- ошибок
45
54
150
119
53
835
Число отрицательных ошибок
56
55
185
110
53
851
Число нулевых ошибок
з
6
18
7
2
73
Число ошибок в интервалах:
0—т
67
74
256
169
73
1235
т~'2т
35
35
70
54
31
438
2т— Зт
2
6
17
13
4
79
Число ошибок, превышающих
0
0
А
0
0
7
по абсолютной величине Зт
Сумма положительных ошибок.
178
22G
657
782
369
CM
Сумма отрицательные ошибок,
278
270
793
719
336
CM
Алгебраическая сумма ошибок.
— 100
—44
— 136
-1-63
+ 33
CM
Среднее арифметическое
—1.0
—0.4
-0,4
¦1 0,3
+0,3
из суммы ошибок, CM
Способы оценки приближения действительного распределении к нормальному позволяют дать количественные характеристики степени этого приближения, приведенные л табл. 13.
Таблица 13
Число ошибок
Отегоси-
Вероятность
P с
ІІЕІТСріІІІЛЬІ OJB UuOK
R OHh(THOW
рилу D
D ТҐОРРТИЧІ'-
ском гиду T
PdTKOCTb
п — г
ге льна 'л частота
It
Раикосп.
0—т т—2м 2т—Зт
>3т
1235 438 79
1206 481 70 2
- 29 —43
+9 +5
0,702 0,249 0,045 0,004
0,686 0,272 0,039 0,003
—0,016 —0,023 +0,006 -!-0,001
S
1759
1759
0
1.000
1,000
0
Данные
этой таблицы позволяют
счита ть
іассматриваемое pa
спределе-
ние нормальным.
§ 24. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК
Возможные (конкретные) значения случайной ошибки нельзя предвычислить заранее, можно лишь указать границы, в которых она изменяется. Следовательно, случайная ошибка, как непрерыв-
ная случайная величина, может вполне характеризоваться законом распределения вероятностей случайных ошибок. Этот закон, как известно, характеризует объективно существующую связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления при многократных испытаниях.
Закон распределения случайной ошибки, представленный в виде функции распределения, может быть записан в общем виде
F <Д) = Р(а<Д), (247)
где F (Д) — интегральная функция распределения ошибок Д.
Таким образом, функцией распределения F (Д) случайной ошибки а является вероятность того, что случайная ошибка а не превысит величины Д.
Плотность вероятности распределения случайной ошибки по определению будет равна F(A-I-JjA)-F(A)
Hm
64->г>
бА
¦Ф(Д).
(248) случайной
у
\
\
К
-л
Рис. 8
где 6А — приращение ошибки.
Согласно рис. 8 вероятность того, что случайная ошибка а примет значение, заключенное между А + ЙД и Д, может быть представлена в виде
/>(Д<а<Д-6Д) -ф(Д)-6Д. (249)
Примем обозначение для ф (Д)'бД, которого и будем придерживаться,