Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
рутений. Такое распределение носит название равномер -ного. Плотность равномерного распределения случайной величины X выражается функцией
j I при Х2<Х<Х!
M*) - = \ 2я (20S)
( 0 вне этого интервала,
где
K1 =а -\-<х; хг = а—а;
п — абсцисса центра интервала.
График функции /г (х) представлен на рис. 7. Так как график функции fr (х) изображается прямоугольником, распределение часто называют прямоугольным.
Ф ункция распределения F, (х) имеет вид
ш
-х
dx_ 2а
- 1.
(207)
а
PlIC
+ «
Найдем числовые характеристики равномерного распределения: млтематическое ожидание и среднее квадрэтическое отклонение. По определению математического ожидания (111) можем записать
(J-I а а-\-ч о-Ьа
Г Ar T
М(
\{Х) — f ха =
J 2а 2а .1 4а
I
2а
1
4 а
xdx = (а+а. Vі — (а — а?].
или
M(X) = =-[(а >-«)'' — (а — а)г|-а.
4а
Дисперсия по формуле (140) равна в этом случае D(X) M JX-M(X)]1I = A) IXі —2X-M(X)-I-M(X)-M(X)I - M(X2)— M [2X-M (X)I ^M[M(X)-M(X)I,
(208) (209)
или
Но
D(X) = M(X'1) -2а1 \-аг = М(Х*)-а\
(210)
M (Xі) =
2а
dx -
Ga
а-о. а+-а
M(X*) -J=-~['= ^-[(агаТ-(а~аГ\
6а а—а Ga
После несложных преобразований в правой части (211) получим М(Хг)-лг-1-— ¦ 212)
С учетом выражения (212) дисперсии D (A) из формулы (210) будет равна
D(X)-M(X-)—а2-- а% -¦ —"' = ^- <213)
Среднее квадратическое отклонение о, следовательно, равно
Напомним, что а — это наибольшая величина, на которую может отклоняться значение случайной величины от ее математического ожидания, т. е. а—это абсолютное значение предельного отклонения.
В книге В. Д. Большакова и П. А. Гайдаева * приведен алгебраический вывод формулы (214), основная суть которого состоит в следующем. Обозначим: а — предельная ошибка округления; w0 — средняя квадратическая ошибка округления, вычисленная по формуле Гаусса (145); е — элементарная (наименьшая) ошибка округления.
Очевидно, что в интервале от — а до 4-а ряд из возможных ошибок округления может быть представлен в виде
— не, —(«—])?.....— Зе, —2ч, — є, 0, е, 2е, .?, , . .
. . . , (« —1)е, пе, (215)
где — пг = —а, пе = а, In -1- 1 — число ошибок ряда. Так как выражение (215) есть ряд истинных ошибок, по формуле Гаусса имеем
m'_ 2 |es4-(20'-I-(Зе)»+ . . . -Нис)2! 0 " |2п-. 1
= ^-^-7-(14-24 3» 4- . • . -і""4)- (216)
2п -(- 1
Из алгебры известно, что конечный числовой ряд
Iа 4 2*4-38H- . . . +(я - I)2 + л» = я(я + 'К-"~1) . (217)
6
Выражение (216) с учетом (217) примет вид
К-^^- (218)
* Балыиакив В. Д., ГайАаев П- А. Теория математической обработки геодезических измерений. M , Недра, 1977.
Учтя, что еэ = а2іпг, перепишем формулу (218)
2_ а*(«-1)
ИЛИ
0 3^3* 3 к я j ^ '
При л большом в скобке правой части пренебрегаем дробью —
л
как малой по сравнению с 1. Следовательно,
/и0 =-?=-, (220)
v з
т. е. получен тот же результат, что и в формуле (214) (при и большом в формуле (214) G = m0).
Глава IV ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
§ 18. ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ
При математической обработке результатов наблюдений, производимых при конструировании и исследовании новых приборов и методов работ, а также при решении ряда других научно-технических задач часто приходится устанавливать зависимость полученных результатов от какой-либо главной причины (фактора) или от главного источника ошибок. Если зависимость между наблюдаемыми величинами будет установлена и выражена формулой, то ее можно использовать при предвычнелении ожидаемой точности исследуемого прибора или для надлежащей организации наблюдений и обработки их результатов. При этом могут встретиться две формы связи: функциональная и статистическая. Ограничимся рассмотрением связей лишь между двумя величинами.
Функциональной связью между двумя переменными величинами хну называют такую связь, при которой каждому значенню х соответствует одно определенное значение у. Так, например, между объемом шара V и его радиусом R существует функциональная связь
V - — лЯ\
3
Статистической связью между двумя переменными X и у называют такую связь, при которой каждому значению х
соответствует распределение значений у, изменяющееся вместе с изменением X.
Пример. При испытании светодальномера CBB-I в 1953 г. были получены результаты, приведенные в табл. 9.
Если бы была возможность вместо табл. 9 привести все значения ошибок для каждого отдельного наблюдения, связь между DnA вообще не усматривалась бы. По данным же таблицы, в которой выписаны средние значения ошибок, можно видеть, что с увеличением D ошибка Л растет при D — = 0,4—2,7 и только при переходе D от 2,7 к 4,5 уменьшается. Следовательно, несмотря на имеющееся отклонение от выявленной закономерности, можно утверждать, что с увеличением измеряемого расстояния абсолютное значение средней ошибки имеет тенденцию увеличиваться.
Таблица 9
