Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 6
Вычисления
Число
чистиц к-
интервалов
(X1- —XIа В,-
0
381
— 1.42703
—543.7
775,9
1
568
—0,42703
—242,6
103,6
2
357
+0,57297
+ 204,6
117,2
3
175
+ 1,57297
+ 275.3
433,0
4
67
+2,57297
+ 172,4
443,0
5
28
+3,57297
+ 100,0
357,3
6
5
+4,57297
+ 22,9
104,7
7
+ 5,57297
+ 11,1
61,9
Итого
1583
Контроль
—786,3
I = 2397,2
= 2259
+786,3
X = 1
,42703
S = 0,0
Решение. Вычислим среднюю арифметическую (математическое ожидание) и дисперсию случайной величніш. В соответствии с данными табл. 6 имеем
J = JL^; JU-*?™ -,!.«703 « 1.43; п 1583
¦ Ч • 2397,2 , ,,
л і=і 1583
Довольно хорошее соападенне среднего арифметического і и момента ц->, равных 1,43 и 1.51 соответственно, подтверждает предположение о наличии распределения Пуассона. Выражение Для закона Пуассона п данном случае примет вид
я!
где k — 0, I1 2, ... — возможное количество частиц золота, находящихся во взвешенном состоянии в растноре, наблюдавшееся через 2 с п оптически изолированной части пространства. По формуле (196) можно вычислить вероятность для заданного числа k.
* Пример заимствован из книги Kapaceea А. И. Основы математической статистики. Росвузиздат, 1962.
Распределение %2
Часто возникает необходимость проверки гипотезы о законе распределения случайной величины X опытным путем. Степень согласия эмпирического и теоретического рядов распределения чисел появления случайной величины в этом случае эффективно характеризует критерий К. Пирсона
^У^. (197)
1
где N — число интервалов, в которых ведется подсчет числа появлений k, случайной величины X; pi — вероятность попадания случайной величины в заданный интервал; п — число значений случайной величины, полученной опытным путем.
Не вдаваясь в теорию данного вопроса, укажем, что в таблицах (прил. 4) для распределения /г по числу степеней свободы г и вычисленному значению критерия согласия %2 находится вероятность р. Принято считать согласие эмпирического распределения с нормальным (гипотетическим) при
/з>0,5 — отличным, 0,3<р<0,5 — хорошим, 0,1 < /ї<0,3 — удовлетворительным.
В случае невыполнения приведенных условий гипотеза не принимается .
Число степеней свободы вычисляется как разность числа интервалов и числа учтенных при вычислении х2 условий {например,
N N _
S nPi ^ E *і. х, O1).
I=* 1 і=1
Пример. В таблице приведены сводные результаты 300 ошибок измерения диаметров валиков при выборочном контроле продукции прецизионного токарного автомата, настроенного на номинальный размер D = = 10,000 мм (ошибки вычислялись как разность измеренного диаметра и D, т. е. Д,- - di—D).
Необходимо оценить гипотезу о нормальном законе распределения ошибок Д,-.
Решение. По таблице (прил. 4) для г = 10—3 находим р = 0,35. Гипотеза о нормальном распределении подтвердилась. Были, кроме того,
і, , од 9,74 мкм , „. , ,
вычислены коэффициенты к, = _ =-— 1,22 (тсоретич. —1,25) и
1 Л I 7,99 мкм
, Од 9,74 мкм , .„ , , .0,
R2 -—-=- =1,42 (теоретич,— 1,48).
г 6,90 мкм
При рассмотрении количественных характеристик случайных величин отмечалось, что в практике встречаются случаи, когда распределения асимметричны и отличаются от нормального (показатель асимметрии Sk' -і- 0; эксцесс E' Ф 0). При небольших показателях асимметрии и эксцесса такие распределения могут быть выравнены при помощи распределения Шарлье. Число появлений
случайной величины х в заданном интервале Ax в этом случае вычисляется по формуле
ко= — <р(г)
(198)
где Дх — величина интервала (х разбивается на одинаковые интервалы); ф (/) — плотность вероятности нормального распределе-
_ Jl І і
ния, равная —--- е
*у%
\ —1 —0,45 мкм; Стд = 9,74 мкм
Интервалы
В ГІІсІЧИЦІІХ
ft0 = яр,-
I
"і-7 х
X [Ф 1(,-)-41 U1-I) і
(A1-BP,) л P1-
0 - --0.5і7д
44
57,4
0,191462
— 13,4
3,13
-гО.Зол—Ч.Оод
5.3
45,0
0,149882
¦1-8,0
1,42
— 1,0«л— - 1.5пд
29
27,6
0,091348
¦1-1,4
0,10
— 1,5од— ! 2,0а д
9
13,2
0,044057
—4,2
1,34
-2,0од— ! 3,5од
6
6,8
0,022517
—0,8
0,09
- 3,5ад--2,0«д
6
6,8
0,022517
—0,8
0,09
— 2,0од---1,5пд
17
13,2
0,044057
+3,8
1,09
— !,лад—1,0« л
31
27,6
0,091848
+ 3,4
0,42
— 1 ,Оад-—0,5ал
47
45,0
0,149882
+ 2,0
0,09
—0,5ад-0
58
57,4
0,191462
+ 0,6
0,01
2
300
300
0,9995
= 7,78
Примечание. При выборе интервалов на концах распределения, где tip^—k^ мяло, га кие группы рекомендуете"* объединять TcIKt чтобы ?и5>5 или ?а>10. Г, Крамер П2- сгр, 457] считает, что критерием X- вообще т- следует пользоваться, если наблюдении мало н нельзя выполнить услония, чтобы i>10, Однако, как показывает практика использования этого критерия согласия, наиболее обоснованной является приведениа я рекомендации Д. М. Длина, т. е. возможность использования критерии Xя даже toe да, когда в отдельных (специально укрупненных) интервалах k,&bt
