Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
1
к
/=1
/=1
что дает
Л ? к к
/=1 /=1 /=1 /=1
? /С
/=1 /=1 Z=I I=I
к к к к
а2 E УI + al E Xi + а0 S 1 = 2 zi'
/=1 /=1 /=1 /=1
317
Выражая уравнения в терминах матричной алгебры CX = R, где
( к к к N z"=l z=l Z=I Z=I к к к
г»1 /=1 J=I X *1 = к
Z = I * *
с \ v)
X к
2ч
R можно получить коэффициенты а2, а1>ао> Решив их. Не излагая всей достаточно хорошо известной процедуры вычисления коэффициентов, приведем лишь результирующие формулы для их вычисления.
318
где
Рис. 104. Схема выбора точек в пределах скользящего окна для их квадратической аппроксимации
к
2 *л
2*
к
; L2X- —
2rf
/=1
- л ' L32 - лГ~ ' ^33 - k ~~ 1^31 ~ ^22^32*
У2
5>2
D
22
i=\
Вычислив коэффициенты а2, ах и ^0, однозначно определяем плоскость в пределах скользящего окна, для которой, так же как и в первом алгоритме, вычисляем угол наклона (а) и экспозицию (?).
Третий алгоритм. В данном алгоритме используется квадратиче-ская аппроксимация точек в пределах скользящего окна. Для квадратической аппроксимации можно использовать три точки, включая среднюю, в направлении оси X и три точки, включая среднюю, в направлении оси Y (рис. 104).
319
Запишем квадратическое уравнение для трех точек В, Л я С в направлении оси X:
z = CL2X2 + ахх + O0. (8.11)
Если принять условную систему координат с центром в точке А, то можно записать
ZQ = CL2Al2 + U1AZ + Oq ,
2O = а2(- А02 + AZ) + %>
где А/ — разность координат между центральной точкой А и четырьмя ее окружающими как по оси X, так и Y. Так как zA = (?, то
2C = а2^2 + alAZ + 2A'
(8.13)
zB = Ci2Al2 — axAl + z^,
Суммируя эти уравнения, получаем
zc + = 2<22А/2 + 2zA. (8.14)
Откуда
2C + 2S ~ 2zA /я t гч
<29 =-^-. (8.15)
2 2AZ2
Вычитая zB из zc, получаем
zc- zB = Ia1AL (8.16)
Откуда
fc_f5 (8.17)
2Д" '
ai " 2AZ
320
Следовательно, исходное квадратическое уравнение можно записать:
fzc + zB- 2z Л
2Al2
х2 +
zc - zB\
2Al
x + zA.
(8.18)
Если продифференцировать функцию z предыдущего уравнения относительно X, то можно рассчитать угол склона в направлении оси X (рис. 104):
dz_ dx
'2C + ?- 2ZAX
\
2Al2
X +
ZC ~ ZB 2Al
(8.19)
Из этого получаем, что тангенс угла склона в точке А равен
ZC ~ 2B
2Al '
так как X = 0, то первое слагаемое уравнения (8.19) обращается в нуль. Поэтому, вычисляя превышение точки С над точкой С (расстояние CC на рис. 104), где точка С является проекцией перпендикуляра, проведенного из точки С на вектор склона, получаем
2C - 2A
zc - zB\
2Al
(хс ~~ ХА)-
(8.20)
Откуда
zc - 2B А , , za = 2Д/ z^
-у - у + zA.
(8.21)
Проведя аналогичные расчеты для трех точек в направлении оси У, получаем
zE,
2F 2D 2 2
2A*
(8.22)
Три точки с известными значениями аппликат zA, zc> и zE> однозначно определяют плоскость CP), в которой лежат оба вектора (см. рис 104). Определив плоскость, представляющую собой склон в пределах всего скользящего окна, так же как и в первом алгоритме, можно вычислить для нее угол наклона (а) и экспозицию (?).
21 Тнкуно* 321
Для того чтобы сравнить точность всех трех алгоритмов, они были использованы для вычисления углов наклона и экспозиций склонов сети точек, расположенных на полусфере. Полусфера использована для того, чтобы можно было теоретически вычислить углы наклона и экспозиции склонов в разных ее частях, а также рассчитать эти же углы, используя три предложенных алгоритма. Значения аппликат точек на полусфере легко вычисляются из ее
уравнения zt = Vr2 - xf - yf, где г — радиус сферы. Для любой из точек на полусфере можно провести плоскость, касательную к поверхности полусферы и проходящую через данную точку. Эта плоскость теоретически точно определяет угол наклона и экспозицию поверхности полусферы в данном месте.
Так же как в первом алгоритме, можно вычислить для данной плоскости нормаль (pt) и направляющие косинусы А, г):
xi , 3?
а затем углы au?:
а = arcos (z), h
(8.23)
(8.24)
? = arcos
Таким образом определяются теоретически вычисленные углы а и ? во всех точках сети. Для этих же точек можно рассчитать углы а и ? на основе трех алгоритмов. Это позволяет найти сумму квадратов разностей между теоретически вычисленными углами и соответствующими им аналогичными углами, полученными на основе реализации предложенных методов, а также подсчитать сред-неквадратические отклонения:
;=1
(8.25)
где V — разность теоретических и вычисленных углов наклона или экспозиции склонов: п — общее число точек; V = — У V;.
322
Рис. 105. Карта углов наклона и экспозиций склонов
Величина ошибок для трех алгоритмов оказалась следующая (табл. 12). Из таблицы видно, что наилучшие результаты получаются при использовании третьего алгоритма и худшие — при использовании первого.
Таблица 12
Величины ошибок при реализации трех алгоритмов
Алгоритм Углы наклона Экспозиции склонов Первый
Второй
Третий 4985,728 1,643 125,652 0,662 19,673 0,208 4342,765 5,037 0,569 0,058 0,460 0.052 На основе цифровой модели рельефа, изображенного на рис. 101, были реализованы все три алгоритма, а результаты расчетов представлены в картографической форме. Причем традиционный картографический метод выделения площадей с одинаковыми углами наклона в пределах заранее заданных для них интервалов оказался неудобным. Такой метод не предполагает отображения характеристик экспозиций склонов. Поэтому карты составлялись по другой методике, ковда в соответствующих средних точках скользящего окна наносятся штрихи, длина которых пропорциональна углу наклона местности, а направление соответствует экспозиции склонов по отношению к северному направлению. Для автоматизированного вычерчивания таких карт на графопостроителе была составлена соответствующая программа. Карта, вычерченная графопостроителем "Calcomp" по результатам реализации лучшего третьего алгоритма, приведена на рис. 105. Аналогичная карта, созданная на основе второго алгоритма, мало отличается от карты, изображенной на рис 105. Использование первого алгоритма дает различимые даже визуально результаты.
