Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
r12 - *11 h\ + ll2 l22 + l\3 l23 +' • • • + 1Ik l2h
(2.16)
63
Обозначим дисперсии остатков е} через Vj. Тогда по уравнению (2.14) любой коэффициент корреляции rjq определится через нагрузки Iy1 и дисперсии остатков v?
к
1V (j*Q) ОЛ7)
rjq = 2 1Ji 1Qi* i = 1
В матричной форме для всей корреляционной матрицы R запись будет иметь вид
R = LL' + В, (2.18)
где L — матрица факторных нагрузок; L' — транспонированная матрица L; В — диагональная матрица с элементами Vj = ej, выражающая остаточные дисперсии.
Модель хорошо описывает экспериментальные данные в том случае, если вычисленные коэффициенты корреляции мало отличаются от выборочных коэффициентов корреляции, которые служили исходной информацией для факторной модели. Следовательно, в модели факторного анализа требуется наилучшим образом аппроксимировать выборочные корреляции факторными нагрузками.
С геометрической точки зрения задача факторного анализа заключается в линейном преобразовании m-мерного пространства в ^-мерное (к< т). Эту задачу нельзя решить однозначно, так как т исходных показателей можно выразить через (га + к) других переменных. В силу этого появляется неопределенность факторных решений, так как они, определяя ^-мерное пространство, содержащее общие факторы, не определяют базиса в этом пространстве и, следовательно, не фиксируют положения факторов в данном пространстве. Из этого следует, что представление корреляционной матрицы факторами (факторизацию) можно произвести бесконечно большим числом различных способов.
Если произвести факторизацию с помощью некоторой матрицы L, то любое ее линейное ортогональное преобразование (вращение) приведет к такой же факторизации. Это часто используют, чтобы упростить результаты анализа и сделать его более осмысленным. Исследователь может вращать факторы до тех пор, пока не получит результаты, поддающиеся географической интерпретации. Однако это нельзя считать объективной процедурой. Од-
64
ни и те же факторы разные ученые могут рассматривать в различных положениях, что может привести к недоразумениям. Затруднительно также сравнение факторов из двух популяций даже с одинаковым набором показателей. Так, трудности интерпретации иногда приводят к критике самой факторной модели (Праги, 1978; и др.).
Существуют также попытки определить некоторую каноническую форму решения, позволяющую вывести суждение об эквивалентности двух решений. Как указывает Г. Харман (1972), вращение к каноническому виду есть способ приведения произвольного решения к некоторой математически фиксированной системе координат. Различные решения считаются эквивалентными, если, будучи приведены к каноническому виду, они совпадают. В вышеуказанной книге излагается алгоритм приведения произвольного решения к канонической форме (с. 187-188). Произвол во вращении факторов в некоторой степени устраняется, если исследователь заранее постулирует ожидаемое число факторов при анализе, а также определяет, какие показатели будут иметь нулевые или очень незначительные нагрузки на различные факторы. Некоторые методы, исключающие вращение, изложены в работе (Лоули, Максвелл, 1967, с. 73-83).
Из фундаментальных работ по факторному анализу известно, что лучшим методом, который дает эффективные оценки факторных нагрузок, является метод максимального правдоподобия. Однако в географических исследованиях часто используют центроидный метод как первое приближение классического факторного анализа. Этот метод был широко распространен до появления ЭВМ как наиболее простой путь решения. При наличии ЭВМ нет необходимости подменять метод максимального правдоподобия приближенными методами. Центроидные нагрузки могут быть использованы как начальные оценки для метода максимального правдоподобия. Это имеет смысл, так как такие начальные оценки облегчают итеративный процесс. Алгоритмы и программы факторного анализа в его приложениях для решения географических задач с использованием ЭВМ приведены в работах (Сидоров, Максимов, 1966; Сербенюк, 1972; Жуковская, Мучник, 1976; Жуков, Сербенюк, Тикунов, 1980; и др.).
В противоположность факторному анализу, предполагающему наилучшим образом аппроксимировать выборочные корреляции, метод главных компонент, или, как его еще называют, компонентный анализ, ставит перед собой цель — выделение максимальной дисперсии.
5 Тикунов 65
Основная задача данного метода заключается в преобразовании т случайных величин Oc) в новый набор j случайных величин (z), которые независимы и расположены в порядке уменьшения дисперсий. Новые случайные величины называются главными компонентами и представляют собой линейные комбинации т исходных показателей.
С точки зрения геометрии метод главных компонент сводится к переходу к новой ортогональной системе координат. Если представить п территориальных единиц в виде точек в m-мерном пространстве, каждая ось которого соответствует одному из показателей, то облако точек будет иметь форму, близкую к m-мерному эллипсоиду. В случае нормального распределения показателей облако точек будет в точности совпадать с формой m-мерного эллипсоида (Харман, 1972). Естественно поэтому взять систему координат, образованную главными осями этого эллипсоида для получения главных компонент. Для этого новую систему координат строят так, что ее первая ось идет в направлении наибольшего изменения в совокупности исследуемых показателей. Вторая ось располагается ортогонально к первой, т.е. идет в направлении наибольшего изменения всех оставшихся показателей. Этот процесс продолжают, пока не построят / новых осей (/ < m).
