Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Закон Фурье q = —X grad Т и обычное уравнение теплопроводности = ау2Г получены в предположении бесконечно боль-
дх
шой скорости распространения тепла. В действительности скорость с конечна и имеет порядок скорости звука, но обычно меньше ее.
а =
\9wzTdf
w-~-----------
J Р™zdf
18
С учетом конечных значений с закон Фурье и уравнение теплопроводности имеют вид [49]
JL Г;
с2 дх
J_ « _L j!L- 2т
с2 дх2 "и а дх
Из решения последнего уравнения в одномерном случае [80] следует, что при скачке температуры на стенке АТ1С вследствие воздействия мгновенного источника тепла сигнал будет распространяться в виде затухающей температурной волны
АТь(у = ст, т) = АГ^ехр^—
После этого скачка, идущего со скоростью с, температура на расстоянии у от стенки будет плавно увеличиваться до АГщах < < ATw и затем уменьшаться. Время, через которое достигается это максимальное изменение температуры АГтах на расстоянии у от мгновенного источника тепла при а = const [30]
т=
6 а
В последующих оценках, опираясь на этот анализ, будем считать, что сигнал о любых изменениях граничного условия по длине или во времени распространяется по нормали к стенке со скоба
ростью —.
У
Для проверки справедливости этой оценки рассчитаем длину участка тепловой стабилизации. При ламинарном течении в трубе смыкание тепловых пограничных слоев произойдет на длине
4г’=р?^- (,-20)
0
Подставляя параболический профиль скорости wz = 8w х
X (Л-----±1\ находим 0,035Ре.
\ d d2 J d
При Tw = const из условия, что —-------— = 0,01, длина уча-
Nuoo
стка тепловой стабилизации [60] ltjd = 0,055 Ре. Учитывая, что It Агл, такое совпадение следует признать удовлетворительным.
Для турбулентного течения уравнение (1.20) примет вид
где [3 — — толщина пристенного слоя, в котором изменение
температур еще заметно влияет на коэффициент теплоотдачи.
Аналогично можно получить для интервала времени Дтт (предыстории) оценку влияния нестационарного изменения Tw на значение коэффициента теплоотдачи в данный момент:
>4
J 6 (а -{-8q)
О
~ а + еа
Полагая для оценок р = 0,1; k =---------L= 40, параболический
а
профиль скорости для ламинарного течения и степенной с показателем 7? для турбулентного, находим
Атх = -^-.-^- = 2>5-10-4Дтл; (1.23)
k 48 а
Л2т = Т ^-Ре^ = 7>3-10“5д2л, (1-24)
где Дтд и Дгл — соответствующие оценки для ламинарного потока:
Дтл=— и Az, = 0,035 Ped. (1.25)
48а
Введем безразмерные интервалы времени и длины. Для ламинарного течения с учетом значений (1.25)
[0, Fo,L Atj'a - 1
d2
[0,ZoL = -^-= 0,035.
Pe d
Для турбулентного течения в условиях оценок (1.23) и (1.24) аналогичные интервалы будут
[0,FOl]T = -^- = j^ = 5,2.10-e (1.26)
d2 48 k
[0, Z0]T = -^- = ^-0,1 ^2,5-10“6. (1.27)
Предел интегрирования (3 в выражениях для Дгт (1.21) и
Дтт (1.22), а также и существенно зависят от числа Рейнольд-
20
са. Необходимо учесть это при определении характерного времени и длины и безразмерных интервалов времени и длины. Очевидно, что в универсальных координатах у+ =
V ~у N „
---------- толщина слоя -— будет некоторая константа,
JA/P 2
не зависящая от числа Рейнольдса:
/
Tw fid
№-)+ = Jl-----------Р-----const, (1.28)
2 J tu/P
где Tir — касательное напряжение на стенке. Из выражения (1.28) находим
Р<* \ 2 J
(1.29)
2 КТ,,/Р Из рассмотрения равновесия элемента потока _6 -?P-.l!^-dz=Twnddz
дг 4
с учетом уравнения (1.13) имеем
T„ = I-^. (1.30)
Из уравнений (1.29) и (1.30) получим
„ (*гГ> W»-
2 -^|/ —л/
2 у 2 2 X 2
(1.31)
Подставим значение по уравнению (1.31) в выражения
(1.23) и (1.24) для оценок Атт и Azr:
( N \+2
Рг2
__ 2 V 2 / а
3 ’ 'kl ю2 *
320 а2
49 'Им'
(1.32)
(1.33)
Как видим, с ростом скорости потока влияние предыстории изменения граничных условий быстро уменьшается. Аналогично
21
выражениям (1.26) и (1.27) найдем безразмерные интервалы времени и длины для турбулентного течения
/ ($flf \ + 2г
Лттш2 ___ 2 \ 2
а 3
[о, г
рг2
п
fid \+з
(1.34)
[о, Z4
&zTw2d
320 49 '
(*t)
Pr
(1.35)
аг 49 1 (|/2)3/2
Разложим закон изменения Тш = Tw(%, 2) в ряд Тейлора по этим интервалам
TW(Z, Т)~Г„
TW{Z+, Т+)-Г0
(т—Т+)
= 1 [ (z~z+) dTw(Z+,T+) |
X
Tw(z+, Т+)-Г„ d2Tw(Z+, Т+)
TW{Z+, Т+) dTw(Z+, T+) 1
дТ 2!
dZ
(Z—Z+)2
TW{Z+, T+)-T0
X
| 2 (z—Z ' ) (T—T+) d4w{Z+, T+) |
+
dZ2 ' гш(г1,т+)-г0
(T—T')2 d27'K,(Z+, T I)
7UZ+, T
¦T0
д'Г2
dZd T
(1.36)
где
z =
zw2d
аг
\zTw2d
T+:
a
At#'2
a
T0 — некоторая характерная температура, принимаемая за начало отсчета в данном процессе.
В силу малости интервалов времени Т+ и длины Z+, по которым произведено разложение, для подавляющего большинства практически реализуемых законов изменения Tw по длине и во времени можно ограничиться лишь линейными членами разложения; причем всегда можно проверить допустимость этого приближения.
Отсюда следует вывод, что при турбулентном течении число Nu для подавляющего большинства реальных законов изменения Tw(z, т) зависит не от закона изменения граничных условий, а лишь от параметров типа
1 dTw(Z, Т) „ 1 dTw(ZyT)
TW(Z, Т)-Г0
