Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
I л2 6 AFo*
+ ... + MmATwl). (6.19)
§ 6.2. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР СТЕНКИ ТРУБЫ И ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КРИТЕРИЯ Bi
Для описания нестационарного теплообмена в трубе, по которой течет теплоноситель с известным коэффициентом теплоотдачи, достаточно рассмотреть уравнение теплопроводности стенки трубы и одномерное уравнение энергии для теплоносителя. Если критерий Bi <С 1, то температурное поле по толщине стенки трубы практически не изменяется. В этом случае для достаточно тонкостенных труб перетечками тепла вдоль оси трубы можно пренебречь, а уравнение теплопроводности для
160
стенки трубы с достаточной степенью точности заменить уравнением теплового баланса. Если наружная поверхность теплоизолирована, то уравнения теплового баланса для стенки трубы и для теплоносителя имеют вид [11]
(cyF)w -^L = qvFw-aU(Tw-Tb\;
дх
(CpyF)b^ + (cpywzF)b d(J(Tw—Tb), (6.20)
где T — температура; qv — тепло от внутренних источников в стенках трубы; а — коэффициент теплоотдачи; ср — теплоемкость; у—удельный вес; F — поперечная площадь; wz — скорость теплоносителя; U — периметр канала; т — время; z — продольная координата; индекс w относится к параметрам стенки трубы, а индекс b — к параметрам теплоносителя.
Если с наружной поверхности трубы имеются утечки тепла за счет конвекции и излучения, то уравнение теплового баланса примет вид
(ciF)w ^ = qvFw-aU(Tw~ Tb) -aiU(Tw - TbX)^-----------CU X
дх а
х (П-Т*ы) 4- , (6.21)
d
где ai — коэффициент теплоотдачи конвекцией с наружной поверхности трубы; ТЪ\ — температура окружающей среды; С — коэффициент излучения наружной поверхности трубы; d и d\ — внутренний и наружный диаметры трубы.
Температурный перепад в стенке во много раз меньше (Tw — Ть) и (Tw — Ты) и не учитывается. В этом случае уравнение (6.21) можно свести к виду уравнения (6.20):
(cyF)w^=qvFw-azU(Tw-Tb)-, (6.22)
дх
если ввести условный приведенный коэффициент теплоотдачи для трубы, то получим
av = a+a, т»-т* mJi_ + с Г'*>~Ть< (6.23)
Тл—Ть d Tw-Tb d v
Систему уравнений (6.20) будем решать при следующих граничных и начальных условиях:
при т = 0 Tb(z, 0) = Tm{z)\
Tw{z, 0) = Tw0{z); при z = 0 7^(0, т) = Г6о(0). (6-24)
И Заказ 802 161
Предполагая, что коэффициент теплоотдачи является известной функцией координаты и времени а = a(zf т), введем безразмерные переменные
Нэ
r](z, х) = j 4St d Но;
о
Z
?(z, т) = J 4SidZy
(6.25)
где
St =
(CpWz)b
критерий Стантона; d — внутренний
диаметр трубы; Но = J
w*d х
интегральный критерий гомо-
хронности; Z = . Если с наружной поверхности трубы есть
d
утечки тепла, то безразмерная координата
Нэ
т\(z, т) = J* 4StvdHo, (6.25а)
о
где
ау
su = St — .
Тогда с учетом выражений (6.25) система (6.20) относительно безразмерных переменных ? и ц запишется в виде
dTw _|_ дц с
1
Ч—
с L 4St д Но ,
дТ„
д1 дг) '
+
4St
dZ
dl д Но
д Но 1
4St dZ дНо \ dZ )
St
¦Tby,
dTh
1 +
<3г|
dTh
+
dl
т _____т
1 w 1 Ъ>
(6.26)
где St0
qvdF xz
(cpywzF)b (cPV F)b
С =
приведенное тепловыделение;
— безразмерная теплоемкость.
Произведем оценку членов в уравнении (6.26), заключенных в квадратные скобки. Для этого выделим интервал врехмени At и координаты Az. Тогда в пределах этих интервалов
1 dl ^ д In 4St Аг . 1 дц ^ д In 4St
wz * 4 St dZ dz
d In 4St
4 St d Ho dx
d In 4St
¦ w2 At.
Величины
характеризуют темп измене-
дх dz
ния коэффициента теплоотдачи по времени и координате; 162
Az ал
----= Ax —время, в течение которого теплоноситель прохо-
vz
дит выделенный интервал длины канала Дг; wzДт = Дг* — расстояние, проходимое теплоносителем в течение заданного интервала времени.
Согласно экспериментальным данным, изложенным в гл. 4, для большинства практических случаев
j д In 4St J ^ w2 _ 1
дх А 2 Ат*
д In 4St
dz
«----------= ——
wz Ат Аг*
Принимая во внимание это соотношение и предполагая, что скорость теплоносителя по длине канала изменяется незначи-
/ д Но .. , \ тельно ( —-— С 1J , имеем
1 * «1;
4St д Но
dZ 4St dZ
1 dl /. дHo
4St d Но V dZ
1 + ¦
-)«i.
С учетом этого допущения систему уравнений и граничные условия можно записать в виде
AA-(ATw-ATb); (6.27)
при г] = О при | = 0
д!\
^r1+^L = A7’-~A7*;
di\
ATb(l, 0) = 0, ATw(l, 0) = 0; (6.28)
AT{0, 11) = 0, где Д7'6(|,т1) = Г4(Б,л)-7'м(1);
A
St
АА(1, т}) = A(l, ri)-^o(S);
^Tw(l, rj) = Tw(l, г\)-Тм{1У,
A0 = (—соответствует начальному значению (Sto)o и (St)о.
\ St /о
Рассмотрим случай, когда во время нестационарного процесса параметр ДА от продольной координаты g не зависит, т. е. ДЛ(т], g) = ДЛ(т]), а С = const. В этом случае система уравнений (6.27) может быть решена методом преобразования Лапла-
11* 163
са по переменной г\. Решение имеет вид
ДTb(l, S) = AA(S)
S(S + c + 1)
c(S + с) exp(-E)exp(-S5)exp^ —
*5 (S + с + 1)
5 + c
ЬТа(Ъ, S) = A4(S)
+
S + c S(S + c)(S + c+1) S(S + c+l)
•X
exp( — |)exp( — S|)exp
X
S + c
S + c
(6.29)
Применяя обратное преобразование Лапласа и принимая во внимание, что
' ‘ -01
ехр
S + с
= ехр(—сщ)10[2
решение уравнения (6.29) запишем так:
