Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
//m = -ifBif7IAFo= ^L-^-AFo; (6.4)
lb lo A
Mk и Qk — безразмерные коэффициенты, зависящие от величины интервала AFo и номера к. Значения Mk и 0& приведены в табл. 3.2 и 3.3, а также могут быть вычислены по рекуррентным формулам (3.23) и (3.24);
аш — средний коэффициент теплдотдачи на . пг-ы интервале;
б — толщина пластины; для цилиндрической трубы с внутрен-
ним диаметром d и наружным d\ приведенная толщина
8 -*=*-¦¦
п , >
4 d
К — теплопроводность материала стенки.
По формуле (6.1) можно определить температуру теплообменной поверхности пластины (например, для трубы — темпера-
154
туру внутренней поверхности) в моменты времени Fo = 0; AFo; 2AFo; mAFo в зависимости от изменения во времени коэффициента теплоотдачи и температуры жидкости. Зная изменение Tw, согласно выражениям (6.3) и (6.2) можно найти температуру изолированной поверхности пластины (наружной поверхности трубы) и тепловой поток,,
В большинстве случаев при нестационарном теплообмене физические свойства материала стенки трубы зависят от температуры, а коэффициент теплоотдачи является нелинейной функцией граничных условий, т. е. функцией не только Tw, ТЬу
dTw dG
но и ——, ------ и т. п.
дх дх
Хотя выражения (6.1) — (6.3) получены для случая, когда теплофизические параметры пластины постоянные, они применимы и для случая, когда эти параметры зависят от температуры. Перепад (Tw—Тн) должен быть достаточно мал, что позволяет учитывать зависимость от температуры только по времени, и интервалы AFo должны быть одинаковыми. Коэффициент теплоотдачи зависит от Tw и , поэтому расчет по фор-
дх
муле (6.1) надо производить на каждом шаге методом последовательных приближений. Точность метода неограниченно высокая, так как величина интервала AFo может быть выбрана сколь угодно малой.
Сущность метода последовательных приближений заключается в следующем. В выражении для коэффициента теплоотдачи выделяют нелинейные члены, т. е.
а=ао(т )-f(Tw,d-Lz.y (6.5)
где f (Twt — функция, учитывающая влияние граничных ус-
ловий на коэффициент теплоотдачи; ао(т) —коэффициент, учитывающий влияние на теплообмен всех остальных параметров.
На данном интервале времени (т — 1) Ат ^ т ^ тАт в качестве нулевого приближения в момент времени т = /пАт принимают температуру стенки , определяемую при усло-
вии, что а = а0(т) согласно формуле (6.1). При этом шаг по времени выбирают таким образом, что коэффициент теплоотдачи а(т) на данном шаге практически изменяется линейно. Зная Т^т , находят производную температуры стенки по времени
. 'г(О) т
> 1 wrn 1 w,m— 1
дт Jm Ат
Зная Т^пг и (, определяют функцию, учитываю-
V дх Jm
щую влияние граничных условий на коэффициент теплоотдачи,
155
/<0) (т’ю,и коэффициент теплоотдачи alP в первом приближении. По полученному значению а,^’ находят тем-
пературу стенки 7 * и ее производную
/dTw\(l) Т wm W. !П—!
\ дх )т Ат
в первом приближении.
Значения Т^т и полученные в первом прибли-
V дх J m
жении, являются исходными для второго приближения, и цикл расчета повторяется. Если задана необходимая точность определения Тщп, то расчет необходимо продолжать до тех пор, пока
J1 (1)_]г(1—1)
—wm -(^т— ^ А , где Л — заданная точность определе-
1 wm
ния Twm.
Определив на каждом интервале времени температуру внутренней поверхности трубы Twm методом последовательных приближений, по формулам (6.2) и (6.3) можно вычислить qwm и Тпт.
В случае переменных теплофизических свойств для сравнительно тонкостенных труб можно пренебречь влиянием на температурное поле изменения коэффициента теплопроводности по толщине стенки трубы, так как перепад температур в стенке трубы в этом случае незначительный. При таком допущении температурное поле в стенке трубы с достаточной степенью точности описывается уравнением (см. рис. 3.1)
д&Т д2Т
а----- (6.6)
дх ду2
с начальным условием
прит=0 АГ = 0 (6-7)
и граничным условием:
при (/ = 0 _ 0; (6.8)
ду
при г/= 6 К ----- = а (А Ть—Л Tw), (6.9)
ду
где А Ть =ТЬ — Т0; &JW = Т„ — Г0;
(у, т) = Т(у, т) — Т0; То — начальная температура.
Если предположить, что коэффициент температуропровод-
ности является произвольной функцией времени а(т), то уравнение (6.6) можно записать в виде
(6.Ю)
дFo* dY2
156
т
где Fo* = j а ty — — интегральный критерий Фурье;
и
у = — безразмерная координата.
6
Уравнение (6.10) является уравнением в частных производных с постоянными коэффициентами и аналогично уравнению теплопроводности с а = const, представленному в безразмерных координатах
дЬТ д2ЛТ /я it.
----=-------, (о. II)
dFodV2 v
где Fo = —------критерий Фурье.
Решение уравнения (6.10) имеет такой же вид, что и решение уравнения (6.11). Таким образом, чтобы получить решение уравнения теплопроводности при а = а(г), достаточно в приведенных выражениях при а = const заменить критерий
X
т*' flt 1—< j.
го = — на го* =
б2 J 62
о
Для того чтобы воспользоваться приведенной методикой для случая, когда а = а(т), необходимо разбить безразмерное время Fo* на ряд равных отрезков:
AFo* = 0; AFo*; 2AF02;...; mAFo^, (6.12)
