Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
k=0
+
+ 2
T.(F0)='^[TS'(F0) (2t)|
п= 0
я
k=\ L
2?+1
(3.4)
Дифференцируя по Fo бесконечное число раз и используя формулу разложения cos [inY в ряд по степеням У, получаем
2wr“<Fo)-^7'-,(Fo)2
k=0 fe=0 р=о
'2k—2 р
(2р)\ (2k—-2р)!
+
+ 2
VII -u2Fo VI Г t Т1к)(°)~ тнач(1)
VU-iye ^F0C0S(ц„У) V (-1)*-----------------------------------
л=0
k=\
Так как правые части равенств (3.3) и (3.5) одинаковы, то
со
r<nFo) = V-gi-ri»(Fo);
k=0
д
dY
r<r-F°>-2i?Vri*,(Fo)
k=\
(3.5)
(3.6)
(3.7)
60
Следовательно, зная закон изменения во времени температуры теплоизолированной поверхности Гн( Fo), по формулам (3.6)' и (3.7) можно установить распределение температур и температурных градиентов по толщине пластины в любой момент времени и, в частности, при У = 1 определить температуру и тепловой поток на поверхности теплообмена:
оо
Тю = Т( 1, Fo) = ^ Т*' (Ро>: <3' 8>
Л = 0 ¦
оо
«¦=-7'?г"'Ч-т1]IsbiT<3-9»
k=l
Выражение (3.6) можно также получить, если для уравнения теплопроводности
дЧ дТ дУ2 ~~ dFo
с произвольным начальным условием Гнач(У) и с граничными условиями
Т(О, Fo) = rH(Fo); jf(0, Fo)=0 искать решение в виде
Т (V, Fo) = 2 а, (V) Пк) (Fo), (3.10)
где а^(У)—неизвестные функции, подлежащие определению («неопределенные коэффициенты»). Подставляя значение (3.9) в уравнения и в граничные условия и приравнивая коэффициенты (функции от У) при одинаковых функциях от Fo, получаем дифференциальные уравнения и граничные условия относительно функций а^(У):
ао(У)=0; а0(0) = 1; а'0{0)=0; а:(К) = ао(У); aj(0) = 0; czj(0) = 0; al(Y) = MY); a2(0)=0; аг(0)=0.
Решая эти уравнения, имеем
Y2 Yk
«0= 1; “1 = —; «2 = —;
Y%k
. . . ak =-.
(2k)\
Подставив значения ak(Y) в уравнение (3.10), получим выражение, совпадающее с решением (3.6)*
61
При решении уравнения теплопроводности методом неопределенных коэффициентов начальное условие не используется. Оно учитывается автоматически — выбором вида, в котором записывается решение, ибо, как это следует из выражения (3.4), протекание функции TH(Fo) зависит от Гнач(У).
Этот метод можно распространить и на более сложные случаи. Например, если искать решение уравнения теплопроводности для плоской бесконечной пластины с равномерно распределенными переменными во времени источниками тепла qv(Fo) с произвольным начальным распределением температуры 7нач(У), с заданным изменением во времени температуры и теплового потока на необогреваемой поверхности rH(Fo) и <7h(Fo) в виде
Подстановка этих значений в уравнение (3.11) дает решение.
Проиллюстрируем применение метода неопределенных коэффициентов на примере полого цилиндра бесконечной длины с источниками тепла, изменяющимися во времени по заданному закону, с произвольными начальными условиями и с известными в любой момент времени температурой и тепловым потоком на наружной необогреваемой поверхности (г = г„). Уравнение теплопроводности имеет вид
оо
T(Y, Fo) = V ’(Fo) + рЛ(К) x
X qik) (Fo) + tk{Y)q\,k) (Fo)],
(3.11)
то получим
6 y2k+1 % ’ (2k + 1)! ’
8 (Y) =------------—--------------
7 I (26 + 2)!
§2 y2k+ 2
(3.12)
где
Начальное условие:
T(R, 0) = THa4(R).
(3.13)
Граничные условия:
7’(l,Fo) = 7’H(Fo); q( 1, Fo) =<7H(Fo).
(3.14)
62
Решение ищем в виде
T(R, Fo)=^[ak(R)Tik\Fo) + fik(R)qik)(Fo) + Ek(R)qiuk)(Fo))>
k—0
(3.15)
автоматически учитывая начальные условия. Подставив выражение (3.15) в уравнение (3.12) и в граничные условия (3.14), приравняв коэффициенты (функции от R) при одинаковых функциях от Fo и решив дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций ak(R), \fik(R), е&(??), получим
ао(Я)=1; Ро(Я)=-^ In Л; н / in/г , 1 -я*
ео (R) =-г(-^ +
аи вычисляем последовательно по рекуррентной формуле
ak(R) = B(R)— Л(1)1пЯ —5(1), (3.16)
где
A (R) = j* Rak-i (R) aR; B(R) = dR.
Рекуррентные формулы для ip(R) и ek(R) идентичны формуле (3.16).
Поле температур для полого цилиндра описывается уравнением (3.15) после подстановки в него найденных значений ak(R), еk(R)- При R = Rw температура и тепловой поток
на внутренней поверхности определяются следующими выражениями:
Tw(Fo) = T(RW, Fo) = ^[ak(Rw)TlHk)(Fо) + MK-^Fo) +
k=0
+ M^)^’(Fo)]; (3.17)
UFo) =---------T(RW, Fo) =
rH dR
oo
=------- X'1[a'k(Rw)TiJi)(Fo) + p;(/?„)^)(Fo) +
Г* JmJ
k— 0
+ *'k(R»)4lvk)( Fo)] (3-18)
(индекс k означает k-ю производную no Fo).
Этот метод является частным случаем более общего метода решения обратных задач, разработанного А. Г. Темкиным [72, 73]. В работе [72] он ищет решение задачи для симметричного
тела с нулевой начальной температурой в виде суммы
63
температур воздействия и последействия, причем для нахождения Т воздействия применяет метод неопределенных коэффициентов. Из выражений для этих коэффициентов как частные случаи получают выражения для аи(У) в формуле (3.6) и аk{R) в выражении (3.12). В работе [73] этот же метод распространен на случай асимметричного поля температур, причем за известные функции принято изменение во времени температур двух точек с различной координатой TH(Fo) и 7i(Fo).
Недостатком метода неопределенных коэффициентов является невозможность точного определения Tw и qw в начальные моменты времени, когда первые производные от ГН(Ро) близки к нулю, а производные высших порядков играют большую роль, несмотря на малые значения коэффициентов при них. Точные значения производных высших порядков от Гн(Ро) в начальные моменты времени экспериментально установить невозможно, так как измерение температуры необогреваемой поверхности в течение некоторого времени после начала процесса на поверхности теплообмена ничтожно мало по сравнению с погрешностью измерения. Поэтому формулы (3.8), (3.9), (3.17), (3.18), хотя и являются теоретически точными, практически «не работают» до некоторого момента Fo*, когда начинается заметное (регистрируемое приборами и соизмеримое с погрешностью измерения) изменение rH(Fo), т. е. когда производные низших порядков становятся достаточно большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь произведениями высших производных на малые коэффициенты. Промежуток времени Fo* зависит от начального изменения температуры в теле, от скорости изменения температуры обогреваемой поверхности и от точности приборов, регистрирующих 7H(Fo).
