Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
3* 35
Для квазистационарного течения градиент давления определяем из одномерного уравнения движения (1.12), предположив
с. р w2 ( др
2d \ дг
Пренебрегая массовыми силами, из уравнения (1.12) с учетом выражения (2.11) находим
(2.11)
др_
дг
др
dw
dw
р W-, (2.12)
дг дх г дг
откуда следует, что (др!дг)к постоянен по радиусу. Тогда из уравнений (2.10) получим линейное распределение касательного напряжения по радиусу
(2.13)
' = _С_ ( др \
2 \ дг /к
Обозначив в уравнении (2.6) долю градиента давления, расходуемую на преодоление касательных напряжений
Т . дТ
(—) -
\ дг / т
найдем
др_ дг
Очевидно,
др
дг
dwy
—•l-('-T),
г дг
дг
дх
-pwz
dwz
дг
-pwr-
dw?
дг
(2.14)
(2.15)
¦(—)
V дг )ч
f(r) при г = const.
Влияние ускорения (и замедления) потока во времени
>0) на характер зависимости
(¦?>")
и по длине
dw2
дг
др
дг /т
диальной скоростью играет второстепенную роль.
-^Л монотонно убывает от дг /т
др на стенке до минимума —на оси трубы.
по радиусу качественно одинаково. Член с ратью играет При ускорении потока
дг
дг
В этом случае из сопоставления выражений (2.12) и (2.15) еле* дует
' ' *......................* (2-16)
< (—) < др
\ дг /т • 4 ' Ш1П \ дг /к дг
Ясно, что характер роста модуля касательного напряжения по радиусу от оси к стенке
|Т(г)| =
др
— f—r(-2L) dr
г J V дг /т
(2.17)
36
будет описываться кривой, возрастающей более круто, чем dp I /
1 (в случае описания полиномами — полиномом
dz [т
с показателем степени на единицу выше). Однако, если
то касательные напряжения на стенке в реальном и квазиста-ционарном течениях одинаковы.
Равенство (2.18) справедливо, если при осреднении по сечению правой части уравнения (2.15) она переходит в правую часть равенства (2.12). Для этого надо, чтобы интеграл
I
j
W
р wr - - 2 nr dr = 0 (2-19)
дг
о
или с учетом уравнения неразрывности (2.8)
_|р _^.^^_ + _^^2яг2^г = 0. (2.20)
о
Эти условия не очевидны, хотя ясно, что деформация профиля скорости при ускорении должна сопровождаться по крайней мере двумя областями с wr > 0 и wr < 0. Кроме того, воз-
» ^ др др
можно появление и трехмерных течении. Ьсли же —и
не равны нулю, то равенство (2.18) нарушится. Из изложенного
/ dw2 ^ n dw2 . п\
следует, что при ускоренном потоке —- > 0 или —- > О
V дт дг ]
касательное напряжение в ядре потока меньше квазистационар-ного значения. Это возможно лишь при уменьшении —рw'zw'r =
dwz *
= |ыт т. е. при уменьшении в ядре интенсивности турбу-
лентных пульсаций или по крайней мере их корреляции; причем, как известно из экспериментов в сужающихся каналах
( дтг ^ д\ ^ ускоренных потоках [15, 16, 51, 163], это умень-
\ дг
шение турбулентности может быть не только ниже квазистаци-онарного, но и ниже исходного течения до ускорения вплоть до ламинаризации потока в ядре.
Следовательно, при ускорении потока (—— > 0 или —— >
\ dz дх
>0), если интенсивность турбулентных пульсаций становится
ниже исходной, должен существовать механизм, посредством
37
которого кинетическая энергия турбулентных пульсаций либо частично переходит в энергию осредненного потока, либо так изменяется и перераспределяется между различными пульсациями, что убывает. При замедлении потока интенсивность пульсаций возрастает. Для качественной оценки изменения пульсаций скорости и турбулентных характеристик в ядре потока при ускорении можно использовать простую схему Прандтля [142], развитую им для случая ускорения потока, вызванного сужением канала, и модифицированную Уберои [165] с учетом изменения плотности.
Примем допущения:
1. Пульсации скорости в осевом направлении 2 главным образом определяются вихрями, оси которых направлены по радиусу трубы, a w'r и w'Q — вихрями, оси которых параллельны оси г.
2. Для вихря справедлива теорема Гельмгольца о постоянстве циркуляции по любому контуру, охватывающему вихревую трубку и лежащему на ней. Следовательно, произведение угловой скорости на площадь поперечного сечения вихря неизменно, что требует пренебрежения диссипацией в вихре.
3. Плотность — однозначная функция давления.
4. Допущения 1 и 2 одинаково справедливы для вихрей всех масштабов.
Тогда при продольном ускорении потока от скорости wzq до wz вихрь с осью, параллельной Oz, удлинится в С = раз.
wzo
тег2
Площадь его поперечного сечения уменьшится на —5 =
_ Wzo?o_ == _Ро_^ а радиус станет г = г0]/р0/Ср. Угловая скорость wz р Ср
вихря из условия постоянства циркуляции должна вырасти
в раз. Тогда пульсации скорости в радиальном и танген-
Ро ____
V.
циальном направлениях увеличатся в
v
"г?
раз. Относительные же поперечные пульсации
со zr
С020г0 V Ро
V к2
умень-
1 f р
шатся в 1/ ------ раз.
V Ср0
При ускорении во времени вихрь, расположенный вдоль оси потока, не удлиняется. Его поперечное сечение изменяется на
ро/р, угловая скорость — на р/р0, радиус — на Следо-
вательно, радиальные и тангенциальные пульсации изменятся 38
на л/ —, а при отнесении их к wz — на —\/ —. Изме-
V Ро С у Ро
нения скорости на длине dz или за время dx соответственно будут
