МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если первоначально в торе не было тока, то при ишигивзнии он возникает так, чтобы поток остался неизменным. В пределе нулевого сопротивления уже бесконечно малая электродвижущая сила достаточна для возбуждения тока.
2.3.2. Поскольку течение жидкости не является непрерывным в том смысле, что первоначально близкие элементы жидкости перестают быть близкими, магнитное поле может изменить топологию.
2.3.3. Когда магнитное ноле сдвигается в сюрон}, энергия, запасенная в магнитном поле, увеличивается за счет кинетической энергии маятника. Если кинетической энергии достаточно, чтобы сжать маїнитное поле вокруг маятника, он будет продолжать движение и восстановит свою кинетическую энергию,, когда магнитное поле восстановит свою первоначальную форму.
2.3.4. При движении ионизованного газа сквозь магнитное поле Земли в ионосфере возникает электрическое поле.
2.4.1. Поперечное магнитное давление равно
а натяжение, связанное с кривизной магнитного поля, равно-
1 - Г -2
Если Л и bz однородны, оба вклада равны. Изменение] профиля B1 мс-няегг только вклад магнитного давления — диамагнетизм увеличивает его, а парамагнетизм уменьшает.
Если профиль Jz пикирован в центре, вклады равны нулю в центре г=GV при удалении от г = 0 магнитное давление падает быстрее, чем магнитное натяжение.
2.4,2. Любое магнитное поле должно быть бездивергенгным: ^-в- = 0. Поле, о котором идет речь в вопросе, не удовлетворяет этому условию.
2,.5.1. Общее выражение для сохранения углового момента можно найти в книге Джексона (Классическая электродинамика. Пер. с англ. M., Мир, 1965). Локальный момент, действующий на плазму, равен
dv
ухр = у х (J х В) = В ¦ уJ — J ¦ у В.
2,5.2. Наличие циркуляции вектора Пойнтинга ExB вокруг оси диска означает, что у электромагнитного поля есть момент. При исчезновении магнитного поля он переходит в угловой момент диска,
2.Ъ.1. Если в закон Ампера включить ток смещения J ~.-у X В —
то у J больше не будет равно нулю и уравнения станут согласованными. Без тока смещения у нас не будет сохранения заряда.
3. Неустойчивость Рэлея—^Тейлора
3.1J,. Положим локальное vtJ ~exp(ily)t или более точно, возьмем ВКБ-ири-ближение. Тогда при
183
P ду V l~ 7 P ^
p ду Iі *~ 7 ^ p"
При Y=O существует точка сгущения. Если у мало, решения могут быть локализованными (в смысле быстрых осцилляции по у) на любом уровне, где р'(у)>0. 3.1.2.
Случай n=l, ft—J-™ наиболее неустойчив. 3.1.3.
, . f fy (О-н ) sh ft (а — y)/ah <Аа), у > 0;
,у (O — ) sh к (Ь + y)/sb (ft*), у < 0;
ftg (р+ - P-)
" P+cth(Ao)-hp-cth(ft6)-
Такая задача математически поставлена не совсем корректно, так как разрывные возмущения (fc-^-oo) нарастают бесконечно быстро. Эту математическую трудность можно устранить, учитывая в модели вязкость, поверхностное натяжение или другие эффекты неидеалы і ост и. Тогда длины волн наиболее быстро растущих неустойчивостей будут определяться добавленными эффектами.
3.1.4., Уравнение в частных производных (ЗЛ.8)—это не что иное, как уравнение Эйлера для вариационной формы (3.1.10). Поэтому уравнение (ЗЛ.8)' применяется только для отыскания экстремума вариационной формы. Для заданного набора граничных условий каждое решение уравнения Эйлера представляет собственную функцию, соответствующую одному и только одному собственному значению у. Допустимые пробные функции в вариационной форме могут быть, однако, смесью собственных функций, так что уа в (3.1 Л0) может быть суммой собственных значений с произвольными коэффициентами.
3.1,5. Да, но в (3.1.10) будут существовать дополнительные поверхностные члены.
3,1.6- При использовании модели экспоненциальной плотности, как в вопросе 3.1.2, когда ускорение g постоянно на всем временном интервале, для смещения
Z (х, Jf) zz ^ dtv (х, t) имеется автомодельное решение ? = !(J = O)exp (уО*
Ь
1 ^ VS?' Очевидно, если g зафиксировать,а временной интервал уменьшать, то результирующее смещение будет уменьшаться. Даже если ускорение g увеличивать, чтобы зафиксировать конечную скорость (или кинетическую энергию) при уменьшении временного интервала vM!LIi1.=gtM&lic, результирующее смещение будет уменьшаться. Следовательно, чтобы ограничить амплитуду, надо сжимать как можно быстрее.
3.3.1, Да. Это можно продемонстрировать на частном примере:
OB
— = _ v-vB -f- B-vv — By-v;
V = Vy sin (ftjr)y; B (t = 0) = BxS-
3*3*2 j
e _ ft (P+ - P^) g - [(ftg+)4 cth (ftq) + {kB-y cth (kb)) 4 ~ P+ cth (ka) + p~ cth {kb)
184
3.3,3. При заданной длине маятника условиями устойчивости как обращенного, так и обычного маятника являются
где ? — амплитуда; <а—¦ вынуждающая частота. Эти условия можно также рассматривать как ограничения на длину.
mil h-
Более полная теория позволяет устранять ограничения a
4. МГД-равновесие
За исключением конфигураций с высокой степенью симметрии, уравнению JxB=VP могут удовлетворять только отдельные частные случаи магнитных полей. Возьмем в качестве простого примера однородное магнитное ноле bx с током /:, проходящим через круглое сечение. Даже если выполнить условия баланса сил внутри тока, они не будут удовлетворяться на границе тока.
