МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Консервативные формы МГД-уравнений можно записать и в лагранжевой системе координат, движущейся вместе с жидкостью. Как мы уже видели выше, функции а и ? можно считать постоянными в каждом идеально проводящем жидком элементе (2.3.6). Кроме того, объединяя уравнения для давления (2.1.5) и плотности (2.1.6), можно показать, что энтропия*, определяемая равенством
сохраняется в каждом элементе жидкости:
~°- (2-5Л0)
г *
Отметим, что это уравнение не означает, что энтропия однородна во всем объеме плазмы.
Вопрос 2,5.L Удовлетворяют ли МГД-уравнения закону сохранения момента количества движ.сния^ Чему равен 'локальный момент сил, действующих на плазму?
* Б действительности это функішя энтропии, а не сама энтропия. Выраженная через е(х, t) энтропия равна —— 1гіе(х,/) —'Примеч. ред.
3 Зак. 1600
33
Вопрос 2.5.2. Рассмотрим жесткий лиск с осью вращения, проходящей через его центр, К диску концентрично оси прикреплено кольцо HJ сверхпроводника с током, окруженное кольцом ив закрепленных па диске заряженных бузиновых шариков. Предположим, что сверхпроводник нагревают так, что он приобретает конечную проводимость, ток затухает, и магнитное ноле исчезает. Переменное магнитное поле выбывает вихревое электрические поле, которое создает силу, действующую на заряды, и приводит диск во вращение. Откуда появился момент количества движения?
§ 2.6. ЭФФЕКТЫ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫ!: МҐД-МОДЕЛЬЮ
МГД-модель часто используется даже там, где ее нельзя оправдать— для изучения геометрии, слишком сложной для применения более совершенных моделей. При этом она позволяет понять и прогнозировать явления, которые затем уточняются с учетом более тонких физических эффектов. Исходя из того, что МГД-уравнения представляют собой только перпое грубое приближение к действительности, будет гораздо полезнее обсудить некоторые из наиболее важных эффектов, опущенных в этой модели, чем приводить точный вывод уравнений с предварительной оценкой области применимости. Полный вывод МГД-уравнсний, с обсуждением сделанных предположений, можно найти в работах С. H1 Брагинского [5], Бойда и Сандер сон а [61 и многих других.
Отправной точкой для дальнейшего будут служить уравнения моментов -— система уравнений, описывающая изменение во времени плотности импульса и энергии для каждой компоненты плазмы. При использовании уравнений моментов наиболее часто ссылаются на очень ясную статью С. И, Брагинского [5]. Дополнительную полезную информацию можно получить в работе Хердана и Лили [7], а детальные расчеты процессов переноса можно найти в статье Шкаровского, Джонстона и Бачинского [81,
Основное предположение, которое делается при выводе уравнений для моментов, заключается в локальности процессов пере* носа на фоне характерных масштабов изучаемых явлений. Однако в экспериментальных термоядерных установках средняя длина свободного пробега частицы значительно превышает размеры плазмы — обычно частица успевает много раз пролететь вдоль тороидальной плазмы, прежде чем почувствует влияние столкновений. Таким образом, явления переноса должны определяться глобальными параметрами плазмы.
Такая теория известна под названием неоклассической теории переноса (см. недавно вышедший обзор Хинтопа и Хазелтайна [12]). Насколько мне известно, до сих пор еще не получена система неоклассических уравнений, пригодных для изучения МГД-неустойчивостей, а изложение сделанных попыток учесть большую длину пробега выходит далеко за рамки этой книги. Таким образом, здесь рассмотрены лишь те эффекты, которые следуют из обычных уравнений моментов, полученных C1 H1 Брагинским [51,
Состояние МГД-жидкости (v, р, р) можно определить в терминах моментов функции распределения частиц fi(x, v, t) и масс ті
34
каждой компоненты, включая электроны. Плотность — это
P=S*'*" (2.6.1)
і
где
^Wi(X1 V1/) (2.6.2)
плотность частиц каждой компоненты. Скорость жидкости
где
V1 -^d*vvft(xt V, /) (2.6.4)
средняя скорость каждой компоненты. И наконец, давление плазмы определяется равенством
где
T1 -~ шг ^ a*v (V - vj2 J\ (*> V1 і), (2.6.6)
температура каждой компоненты.
Уравнение эволюции плотности (2.1.6) следует без всяких приближений из уравнений непрерывности
fti+V(^vJ - 0. (2.6,7)
Другую форму записи этого уравнения — уравнение сохранения заряда
д =г + VJ 0, (2.6.8)
в котором
плотность зарядов, а
O=^Z1CTt1 (2.6.9)
J ^^ZtertfVt (2.6. Ю)
плотность тока, можно получить, умножая (2,67) па заряд Zxe каждой компоненты, включая Z =— I для электронов. Уравнения (2.6.8)-(2.6.10) в МГД-тсоршт не используются, так как и не входит больше ни в одно из M ГД-у равнений.
Вопрос 2.6.К Из закона Ампера (2.1 2) следует, что \ J^O1 и, следовательно, из (2.G 8) вытекает, что oujdt=0. Однако уравнение Максвелла 0=v*E вместе с законом Ома показывает, что а, вообще говоря, не кон-
3* 35
стаїіта и не равна нулю. Как разрешить эго противоречие? Согласуется лй равенство (2.6.10) с законом Ампера (2.1,2)?
Остальные уравнения для моментов существенно более сложны. Объединение уравнений сохранения импульса для каждой компоненты после пренебрежения вязкостью, нєіісЮтр они остью давления и электростатическими силами приводит к уравнению движения (2Л.1). Отбрасывание электростатической силы оЕ является хорошим приближением, когда рассматриваются расстояния, существенно большие дебаевскон длины, а скорости — меньшие релятивистских.
