МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для начала можно записать силу JXB в терминах кривизны магнитных силовых линий и градиента напряженности магнитного поля. Для этого воспользуемся равенством (2.1.2) и соответствующими векторными тождествами:
x В- (V x В) X В В ГВ Ay (2¦4¦I)
,-^
Затем введем единичный вектор В = В/|В|, направленный вдоль магнитного поля:
1
МХВ В* В 7В h-fr (В Вт5- v^2)-
(2.4.2)
30
Заметим, что проекция градиента В на направление силовой линии—это кривизна силовой линии к;
которая равна обратному радиусу кривизны, Два оставшихся члена в (2.4,2) можно записать в виде перпендикулярной проекции градиента
V±=V - BB-V, (2A4)
действующего на величину В2. Итак,
J'X B='^[5?--!-Vj?2]- (2.4.5)
Мы говорим о «натяжении» магнитных силовых линий, которое приводит к силе (Цц)B2kt направленной к центру кривизны,, точно так же, как о натяжении струны. Давление магнитного ноля создает силу (1/2 u.) V-L^ действующую со стороны области с большей напряженностью магнитного поля. Изгибание поля приводит к натяжению, а сжатие к увеличению давления.
Вопрос 2,4.1. Рассмотрим плазму, представляющую собой прямой круговой цилиндр с винтовым магнитным полем:
Ъ~Вь(г)5-\ В: {г) г.
Какой относительный вклад в такой конфигурации дает магнитное давление, а какой наїяжение силовых линий? Как изменится относительный вклад этих сил при изменении профиля полного продольного тока Л(^), осли поле B1 однородно, а
г
ВЬ (г) - Mr) J drrjz (г).
В качестве эталона ишгользуйте однородный профиль тока, при котором Bb =ііг/і0/2.
Вопрос 2.4,2. Допустим, что в некоторой области мапштное поле п каждой точке имеет одно и то же направление и в т> же сторону направлен его градиент. Почему параллельный градиент _маі ни-шого поля не создаст маї митного давления?
Силу JXB можно записать в виде дивергенции от тензора мак-свелловекпх натяжений магнитного поля
J XB =-і-v'(BB - \ ^В^ , (2.4.6)
где I — единичный тензор. Расписывая (2.4,6) по компонентам, получим
. (J X B)1 - -J- ± (В,В,- - Ьи± В») . (2.4.7)
Такое представление силы JxB в виде дивергенции от тензора особенно полезно при записи МГД-уравнений в консервативной форме.
31
§ 2.5. КОНСЕРВАТИВНЫЕ ФОРМЫ МГД-УРЛВНЕНИЙ
Говорят, что уравнения записаны в консервативной форме, если производная по времени от какой-либо величины равна дивергенции от некоторого потока. Консервативная форма записи МГД-уравнений в неподвижных (эйлеровых) координатах выглядит следующим образом:
dt
(PV)- v[-Pv*v I ^B-B -І(р+Д-у2а)
VX(VXB)- T7(V-B Bv); д9
dt
dt
Г - 1
кинетическая j- потенциальная энергия
конвекция кинетической -г термодинамическое энергии
(2,5.2)
') V +
P
работа сил давления на поверхности
EXB
вектор Пойнтинга
(2.5.4)
Эти уравнения описывают изменение во времени импульса, потока магнитного поля, плотности, массы и полной энергии в любой точке пространства. Интегрируя каждое уравнение по объему некоторой заданной области и используя теорему Гаусса [как и в (2.2.2)], можно получить, что правая часть каждого из уравнений представляет собой поток через границу данной области.
Такие консервативные формы уравнений особенно полезны при численных расчетах. Например, можно записать эти уравнения в конечных разностях так, что в процессе изменения переменных во времени они будут строго сохранять момент, поток магнитного
поля, полную массу и энергию. Кроме того, консервативные свойства этих аналитических уравнений можно использовать для определения точности других, нсконсервативных численных дифференциальных схем.
Консервативные формы уравнений полезны для выявления естественных граничных условий, которые позволяют рассматривать исследуемую систему как изолированную. Систему можно считать изолированной, если суммарный поток каждой величины через всю границу равен нулю, по обычно требуют равенства пулю потоков через каждый дифференциальный элемент границы.
Например, для сохранения массы должна отсутствовать конвекция поперек границы:
32
(2/.5)
Для сохранения энергии должен быть равен нулю вектор Пой-тинга:
(E X B)1 == 0. (2.5.6)
Для сохранения магнитного потока не должно быть параллель-ного границе электрического ноля:
Eir=0. (2.5.7)
Условие (2.5,7) можно доказать, интегрируя закон Фарадея (2.1,3) по произвольному элементу граничной поверхности:
[dS.В = - , dS.у X E = - фа\-Е. (2.5.8)
Уравнение движения для вывода граничных условий обычно не используется, так как в уравнение движения (2,5.1) не входят силы, действующие на плазму со стороны стенок и обеспечивающие условие Vx=O.
Заметим, что граничное условие Щ=*0 соответствует (EXBJx = = 0. Более того, если в начальный момент граница совпадает с магнитной поверхностью, Bx=O, и если вблизи границы жидкость идеально проводящая E = —VXВ, то граничное условие Vx^O приводит к Е|]=0, и граница всегда будет магнитной поверхностью. При этих условиях требуется лишь одно граничное условие— граничное условие па жесткой стенке Vx=O. В противном случае, когда слепка отделена от плазмы вакуумной областью или если плазма, прилегающая к стенке, имеет нулевое давление и температуру, условие Vx=O можно опустить, и нужно будет потребовать только выполнения условия Ef]=O на идеально проводящей стенке. При этих условиях жесткая, идеально проводящая стенка будет полностью изолировать плазму в МГД-приближении.
