МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Из этого следует, что вектор V^'XV?' в любой точке направлен вдоль магнитного поля, и для того, чтобы получить правильное значение поля, мы можем умножить это произведение на подходящую функцию координат и времени f(x, t):
В / (л. 0 ¦ v«' (X, t) X vP' ff. 0- (2.3.2)
Поскольку дивергенция магнитного поля должна равняться нулю,
VB = V/'Vft'X vP' = о,
то /(х, Ґ) должна быть функцией только а' и ?', f=f{a/, ?', t). После этого f можно ввести в векторное произведение ya'Xv?'? например, обозначив для получения (2.3.1)
і -$flfa'/(a', P - P'- (2-3.3)
о
В качестве конкретного примера рассмотрим магнитное поле, силовые линии которого обвивают пространственную кривую, называемую магнитной осью. Функцию а можно выбрать так, чтобы она была постоянной на этой кривой и спадала при удалении от нее так, чтобы поверхности постоянного а образовывали трубки, охватывающие магнитную ось. Тогда поверхность постоянного ? должна быть поверхностью, навивающейся на магнитную ось так, как это показано на рис. 2.1. Такая функция $(х, t) неоднозначно
Рис. 2.1. Поверхности a = con(st и const вблизи магнитной оси 23
определена в пространстве; она возрастает при следовании по любому замкнутому контуру, охватывающему магнитную ось, а в тороидальной геометрии она возрастает и при движении вдоль тора но замкнутому пути, параллельному магнитной оси. Таким образом а — однозначная, а ?— двукратно многозначная функции. Можно выбрать обе функции а и ? однократно многозначными, однако в тороидальной конфигурации, по-видимому, невозможно уменьшить эту степень многозначности.
Выбор а и р для данного магнитного поля неоднозначен. Например, к а можно добавить любую функцию от ?, а к ? — любую функцию от а, не изменяя произведения VaX V?:
В- V* x V? - Vl* +ЯМІ x V? -¦ V*X VfP : Я*)]- (2.3.4)
Уравнение, описывающее изменение во времени а и ?, можно вывести, подставляя B^v°XV? в закон Фарадея, записанный для идеально проводящей жидкости:
~ V x (V x В);
VfXvPvv^xvI V x [V x (v* x vP)I;
dt 'ч vv ц * ' ¦ v dt V X
vx
da Q d$ 1
di
0.
Здесь a/dt означает конвективную производную, которая была определена ранее (2.1J) для произвольного поля скоростей \(х, t). Таким образом,
%-VP" Vі - Tf> (2-3.5)
где' ф — некоторая произвольная функция координат и времени. Возможность произвольного выбора ф отражает тот факт, что не существует однозначного способа описания движения силовых линий магнитного поля.
С полным основанием для ф можно выбрать значение ф — 0, что приводит к
da/dt - 0, dB'dt 0. (2,3.6)
При таком конкретном выборе ф скалярные поля а(х, t) и ?(x,/) движутся вместе с жидкостью. Отсюда следует, что линии, на которых а и ? постоянны, а следовательно, и магнитные силовые линии, должны двигаться вместе с жидкостью. Таким образом, силовые линии не могут разрываться или изменять топологию до тех пор, пока движение жидкости непрерывно в том смысле, что соседние элементы жидкости всегда остаются соседними. Так как эта топологическая инвариантность относится к силовым линиям магнитного поля, которые однозначны вне зависимости от выбора а и ?, это заключение справедливо для любого выбора ф.
29
eil*,
Рис 2.2 К вопросу 2 3.Ї. Жесткий идеально проводящий тор вынимают из магнитного поля
Физическая интерпретация Неоднозначности движения силовых линий очень тонкая. В любой момент времени все силовые линии магнитного поля можно провести однозначно. Однако нельзя однозначно привести в соответствие силовые линии в данный момент с силовыми линиями в любой другой момент времени. Мы можем выбрать какой-либо способ идентификации и на его основе сделать выводы о движении силовых линий, что с тем же успехом можно сделать и для всех остальных способов идентификации. Поэтому нашими представлениями о магнитных силовых линиях нужно пользоваться очень осторожно.
Вопрос 2.3Л. Рассмотрим идеально провидящий жесткий тор, помещенный между полюсами постоянного магнита, так что маїнитнос поле проходит чере.і о шерстне тора (рис, 2.2). Теперь отодвинем тор далеко в сторону. Как будет выглядеть ной ос магнитное поле? Будет ли какая-либо разница от і ого, что этот эксперимент проводится в вакууме или внутри идеально проводящей жидкости? Изменится ли что-нибудь, если вначале вдоль тора течет ток?
Вопрос 2.3.2. Предположим, что идеально проводящая жидкость, несущая с собой магнитное поле, натекает на неироподящий клип с гладкими стенками. При эю:л соседние элементы жидкости расходятся на произвольно большое расстояние. Будут ли разрываться магнитные силиаые линии?
Вопрос 2.3.3. Большая идеально проводящая жесткая чечевица маятника при своем дпижетши попадает в область с сильным млптитным полем. Что произойдет? Имеет ли значение, какая сила толкает маятник в мапшгное поле?
Вопрос 2.3.4. Когда магнитный диполь вращается вокруг своей оси, магнитное поле не испытывает никакою видимого вращения. Каким образом вращение ионосферы влияет па магнитное поле Земли?
§ 2,.4. СИЛА JXB
Движение идеально проводящей жидкости влияет на магнитное поле в соответствии с законом Фарадея. В свою очередь, магнитное поле оказывает обратное воздействие па жидкость за счет силы JXB, входящей в уравнение движения (2.1.1), В этом параграфе будут рассмотрены различные способы записи п интерпретации силы jxb.
