МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. Потоки, входящий в объем и выходящий из него, равны.
2. Через любую поверхность, натянутую на данный замкнутый контур, проходит один и тот же поток,
25
Чтобы доказать первое утверждение, можно воспользоваться теоремой Гаусса
(j) aS. В = ^ а*ху * В = 0. (2.2.2)
Для доказательства обратного утверждения следует применить ее к произвольному элементу объема. Что касается второго утверждения, то следует обратить внимание на то, что между любыми двумя поверхностями, натянутыми на один замкнутый контур, имеется замкнутый объем, а затем, как и раньше, можно воспользоваться теоремой Гаусса.
Уравнение уВ^О фактически является дифференциальной формой условия сохранения потока магнитного поля. Это легко понять, записывая выражение (V-B)dxdydz с помощью конечных разностей внутри бесконечно малого параллелепипеда с площадями поверхности граней dxdtfj dydz и dzdx.
Теперь рассмотрим закон Фарадея (2Л.З). Этот закон вытекает из следующего экспериментального факта. При изменении потока магнитного поля, проходящего через замкнутый проводник, в проводнике возникает электрическое поле, которое дается формулой
cfrfbE= ™-?ф. (2.2.3)
При этом не важно, по какой причине меняется поток, изменяется ли поле или движется проводник. Проводник, конечно же, можно заменить любым замкнутым контуром.
Рассмотрим случай, когда поле меняется, а контур движется или деформируется. Через бесконечно малый промежуток времени каждый элемент контура сместится на расстояние v-dt, а каждый элемент длины заметет площадь dl Xv-с/г. Поток магнитного поля через новый контур равен потоку через старый контур, за вычетом потока, проходящего через остаток площади, получившийся из-за движения контура. Таким образом, полная скорость изменения потока дается выражением:
- JrfS-^ - §dl X V В. (2.2.4)
Совместно с (2,2.3) это ведет к
(JJdI[E - V X В] - - ^dS-^ . (2.2.5)
Электрическое поле в выражении (2,2.5) —это электрическое поле па движущемся контуре.
Электрическое поле на неподвижном контуре, который совпадает с каким-либо мгновенным положением движущегося контура, равно:
фа\-Ь^9Л9 - JdS -^g-. (2.2.6)
26
Здесь использовали инвариантность закона Ф,арадея по отношению к преобразованиям Галилея в нерелятивистском приближении. Она проявляется в том, что магнитное поле в любой точке пространства и в любой момент времени не зависит от системы отсчета. Электрическое же поле зависит от скорости, с которой движется наблюдатель. Разницу между электрическими полями в неподвижной точке и движущемся контуре можно получить, сравнивая выражения (2,2.5) и (2.2.6):
Ецєноів — E-ibifj^ V X ?' (2.2.7)
В идеально проводящей плазме электрическое поле равно нулю в системе отсчета, движущейся вместе с любым элементом жидкости. Таким образом, как следует из (2.2.7), электрическое поле в лабораторной системе отсчета равно
Е[|еп01в = - V X В, (2-2.8)
где V — скорость жидкости. Итак, в идеальной МГД-модели закон Ома (2.1,4) вытекает из галилеевой инвариантности закона Фарадея и предположения о равенстве нулю электрического поля в системе отсчета, движущейся с плазмой.
Отметим, что сила, действующая на любую движущуюся частицу, равна 2іЄЕдВЇ1ж. Возвращаясь в неподвижную систему отсчета, получим, что эта сила равна Z^eEIien0SJJ-J-Z;evX В. Второе слагаемое— это сила Лоренца, действующая па движущуюся частицу в магнитном поле. Суммируя по всем частицам, из которых состоит плазма, получим, что слагаемое VXВ приводит к появлению силы JXBb МГД-уравнепии движения (2.1.1),
Вопрос 2,2.2. Заряженная частица находиігя в однородном магнитном поле, которое нарастает но примени. Как будет двигаться частица?
Вопрос 2.2 3. Эффекты, связанные с электростатической силой гтЕгтсчіодв, где-o — плоіность зарядов плазмы, опушены е МГД-уравнепии движения (2 1.1). Если же (2 2.8) умножить на Z1G и просуммировать по всем частицам, мы получим cfEHfUUflB+JxB=O. Означает ли это, что электрическая сила компенсирует силу JxB?
§ 2.3. ДВИЖЕНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИИ
Этот раздел написан с целью объяснить часто используемое утверждение о том, что магнитные силовые линии «вморожены» в идеально проводящую жидкость.
В действительности движение силовых линий определено неоднозначно. Утверждение о том, что силовые линии движутся с идеально проводящей жидкостью, действительно согласуется с законом Фарадея, но силовые линии могут двигаться и иначе, все так же в соответствии с законом Фарадея. Положение силовых линий в любой момент времени определяется однозначно, однако движение силовых линий во времени — это в известной степени дело интерпретации.
Существует очень простой способ придать всему этому реальный смысл— нужно представить магнитное поле в виде
27
где а и ? — скалярные функции. Трудность здесь в том, что очень сложно доказать, что любое магнитное поле можно представить с помощью (2.3Л). Проще всего показать, что из (2.3.1) следует V-B = O; для этого нужно переписать (2.3Л) в виде B= VX(aV?) или B = — vX(?Va) и учесть, что V* V X... = 0.
Гораздо труднее доказать, что любое векторное поле с дивергенцией, равной нулю, можно представить в виде (2.3.1). Чтобы доказать это, начнем с того, что представим себе пару функций о! и ?', которые постоянны вдоль каждой магнитной силовой линии. Это означает, что магнитное поле везде направлено по касательной к поверхностям, с постоянными значениями а' и ?', и такие поверхности нигде не совпадают.
