Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
L2 L4 L1 13 L5
в) г)
Рис 5.1. Многозвенные фильтры нижних (а, 6) и верхних (в, г) частот
Примечание к рис. Поскольку катушки индуктивности являются более дорогостоящими и более крупногабаритными элементами электронных схем по сравнению с конденсаторами, то схемы, в которых они используются в минимальных количествах, например (а) и (в), получили широкое распространение. Количество элементов определяет такое общепринятое название, как порядок фильтра. Все представленные на схеме фильтры являются фильтрами пятого порядка.
fc f fc f
а) б)
Рис 5.2. Частотные характеристики фильтров Баттерворта (а) и Чебышева (б)
Линия АЧХ абсолютно плоская в зоне пропускания фильтра. По этой причине подобные фильтры иногда называют фильтрами с максимально плоской характеристикой. Для частот, расположенных в зоне затухания, приближенное значение коэффициента ослабления можно вычислить по формуле:
L«(f/fc)2n (5.2)
Это означает, что ослабление возрастает на 6п дБ при каждом удвоении частоты. Иначе говоря: ослабление возрастает на 6 дБ на каждую октаву и на каждый элемент.
5.1. МНОГОЗВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ [ТзТ|
В действительности же резкий спад частотной характеристики можно получить только в том случае, если допустить пульсацию АЧХ в области пропускания. В фильтре Чебышева реализуется именно такая возможность (рис. 5.26). Ослабление для фильтров этого типа описывается выражением:
L= l+oCjf/Q (5.3)
где а - коэффициент пульсаций, а Сп(х) - полином Чебышева n-го порядка. Полиномы Чебышева обладают интересным свойством: их значения находятся в интервале от -1 до +1 при изменении значения х от -1 до +1. Два первых члена полинома имеют вид:
C0=I (5.4)
C1 = X (5.5)
Остальные члены полинома вычисляются по формуле:
Q(X) = 2XC14(X)-C« (X) (5.6)
Для того чтобы научиться пользоваться этой формулой, рассчитайте несколько членов полинома. На рис. 5.3 в табличном и графическом виде приведены первые семь членов полинома Чебышева.
Порядок Полином
О 1
1 X
2 2х2-1
3 4х3-3х
4 8х4-8х2 + 1
5 16х5-20х3+5х
6 32х6-48х4 +18x2-1
7 64x7-1 12х5+56х3-7х
1 X
а) б)
Рис. 5.3. Первые семь членов полинома Чебышева (а) и графики нечетных членов полинома C1, C3 и C5 (б)
Мы будем использовать только нечетные члены полинома Чебышева, так как четные члены рассматриваются при анализе фильтров с иным источником питания и сопротивлением нагрузки. Нечетные члены полинома равны нулю при значении X = 0, а затем осциллируют между значениями +1 и -1, принимая максимальное значение (+1) при предельном значении х = 1 (рис. 5.36). Этот результат на первый взгляд кажется неправдоподобным, если принять во внимание большие значения коэффициентов членов полинома. Например, для полинома пятого по--рядка C5 значение коэффициента при х3 равно 20. Однако различные члены полинома как бы уравновешивают друг друга до тех пор, пока х < 1. Рассмотрим, как это влияет на потери. Каждый раз, когда полином Чебышева принимает значение + 1 или -1, коэффициент ослабления становится равным 1 + а. В середине же полосы пропускания он изменяет значение от 1 до 1 + а несколько раз, из-за чего
5*
fl32| 5. ФИЛЬТРЫ
фильтры такого типа называют волнистыми или пульсирующими. Описанное явление (пульсация АЧХ) наблюдается однократно для C1, дважды для C3 и трижды для C5. На рис. 5.26 показаны полиномы Чебышева для фильтров до пятого порядка включительно. Последний раз коэффициент ослабления принимает значение 1 + а при f = fc, то есть на границе полосы пропускания. При увеличении частоты выше значения fc коэффициент ослабления очень быстро возрастает, а частотная характеристика резко спадает. Причиной такого поведения АЧХ фильтра Чебышева является высокое значение коэффициента при множителе 2""1. Для сравнения отметим, что этот же коэффициент для фильтра Баттерворта равен 1. Если все выразить в децибелах, то коэффициент ослабления фильтра Чебышева вне области пропускания на 6(n - 1) дБ больше, чем коэффициент ослабления фильтра Баттерворта, имеющего то же самое значение коэффициента ослабления в области пропускания, что и фильтр Чебышева. Например, для фильтра пятого порядка эта величина составляет 24 дБ.
5.2. Таблицы фильтров
Для того чтобы правильно спроектировать фильтр, надо ознакомиться с таблицей, где приведены значения расчетных параметров для различных фильтров. Используя эти данные, можно смоделировать на персональном компьютере частотную характеристику фильтра и затем уточнить расчет для имеющихся элементов. Дело в том, что промышленность выпускает конденсаторы со строго определенным набором величин емкостей, а катушка индуктивности должна иметь целое число витков. Но на практике эти ограничения можно обойти: чтобы незначительно увеличить индуктивность катушки, нужно плотно сжать витки, а чтобы уменьшить, наоборот, немного растянуть обмотку. При моделировании необходимо учитывать, что и конденсатор, и катушка индуктивности имеют сопротивление потерь, влияние которого в схеме может оказаться весьма существенным. Поэтому лучше рассмотреть и сравнить несколько вариантов расчета с различными элементами схемы. Например, для фильтров Чебышева влияние таких элементов (как показывает опыт) весьма значительно. Вывод формул для таблиц - дело очень сложное, поэтому в книге приводится только конечный результат. Формулы выводились для фильтров, имеющих совершенно одинаковые источники и сопротивления нагрузки, благодаря чему величина этого сопротивления может использоваться в качестве нормировочной. Нормированные значения реактивной проводимости и реактивного сопротивления для фильтра Баттерворта на частоте fc определяется по формуле:
