Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
V dt J
(3.48)
После вычисления производной экспоненциальной функции (умножив на jco) получим:
I(t) = Re[jwCAexp(jcut + j6)] (3.49)
Данная формула эквивалентна выражению (3.46). Самостоятельно проделайте несложные преобразования, чтобы убедиться в этом. Использование экспоненциальной функции позволило заменить операцию, взятия производной умножением Hajo). Данное приближение может быть выражено более строго с математической точки зрения, если воспользоваться определением комплексных чисел UhI:
U = Aexp(j0) (3.50)
I = Bexp(j(p) (3.51)
Если данные комплексные числа представить в виде модуля и угла, можно записать:
|U| = А (3.52)
ZU = Є (3.53)
W = B (3.54)
ZI = ф (3.55)
f~80"] 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Величины UhI получили название векторов на комплексной плоскости. Так как они являются фиксированными комплексными числами, а не функциями от времени, переменная t в них отсутствует.
Модуль вектора равен амплитудному (пиковому) значению исходной^ синусоидальной функции напряжения или тока, фазы также остаются без изменения. Для того чтобы восстановить исходную синусоидальную функцию, необходимо умножить ее на exp(j(Ot) и выделить действительную часть:
U(t) = Re[Uexp(ju)t)] = |U|cos((0t + ZU) (3.56)
1(0 = Re[lexp(j©0] = |I|cos((0t + ZI) (3.57)
Вычисление производной по времени эквивалентно операции умножения Hajo) для вектора. Например, для конденсатора можно записать выражение:
I=JO)CU (3.58)
так как формула вектора эквивалентна выражению 1(0 = CU'(0. Аналогичным образом можно получить уравнения для векторов тока и напряжения в катушке индуктивности. Повторив проделанные операции, получим:
U=JO)LI (3.59)
как полностью эквивалентное выражению U(O = LlZ(O- Для резистора выражение в векторной форме будет иметь вид:
U = RI (3.60)
что полностью совпадает с ранее использовавшимися формулами.
3.4. Полное сопротивление
Запись напряжения и тока в векторной форме будет использоваться в качестве основной. Отношение U к I (в комплексной форме) получило название полного сопротивления или импеданса (Z):
U = ZI (3.61)
Единицей измерения импеданса, как и сопротивления, является ом. Но поскольку UhI- комплексные числа, импеданс также является комплексным числом с действительной и мнимой частями, которые традиционно записываются в следующем виде: \
Z = R+jX (3.62)
где R - активная составляющая полного сопротивления (активное сопротивление), а X - реактивная составляющая полного сопротивления (реактивное сопротивление). Если сравнить данное выражение с уравнением 3.59, то реактивное сопротивление катушки индуктивности будет определяется так:
X = O)L (3.63)
3.4. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Г 8Ї
Реактивное сопротивление катушки индуктивности является положительной величиной. Несколько сложнее получить выражение для реактивного сопротивления конденсатора. Перепишем уравнение 3.58 в виде:
и=і <3-64>
Отсюда вывод - реактивное сопротивление конденсатора определяется по формуле:
X = -1 / O)C (3.65)
Знак>«минус» показывает, что j находится в знаменателе дроби. Следовательно, реактивное сопротивление конденсатора является отрицательной величиной. В этой книге очень часто используется абсолютное значение реактивного сопротивления, которое определяется по выражению:
|Х| = 1 / O)C (3.66)
Достаточно часто указанная величина называется реактивным сопротивлением, иногда даже предполагается, что она положительная. Все это кажется несколько двусмысленным, но тем не менее применяется на практике. Поэтому определять, какой знак нужен, необходимо исходя из конкретной ситуации.
Использование понятия полного сопротивления (импеданса) позволяет проводить анализ цепей, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, без вычисления производных и интегралов. Математические вычисления в этом случае практически не отличаются по своей сложности от тех, которые применяются в резистивных цепях, за исключением того, что приходится оперировать комплексными числами. Но всегда следует помнить, что термин «импеданс» может использоваться только для напряжений и токов, изменяющихся по синусоидальному закону. Например, импеданс Z5 последовательно включенных элементов является суммой их импедансов:
Z5=L^ (3.67)
а импеданс Zp параллельно включенных элементов определяется из формулы:
— = 1,— (3.68)
zp ^1Z1
При использовании импедансов совершенно аналогичным образом, как и резисторов, определяются эквивалентные схемы Нортона и Тевенина, выражения для делителей токов и напряжений.
Более того, сам термин импеданс означает сопротивление, поскольку его первая часть происходит от английского слова impede, что переводится как «задерживать, препятствовать» (например, протеканию тока).
При дальнейшем изложении материала мы также будем использовать величину, обратную импедансу, которая называется полная проводимость (ампиданс)
["IF] 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
и измеряется в сименсах (См). Полная проводимость обозначается буквой «Y» и определяется как:
I = YU (3.69)
Действительная и мнимая части полной проводимости традиционно записываются в следующем виде:
