Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
Этот интеграл можно вычислить, взяв по отдельности интеграл каждого из членов в сумме, а затем сложив их:
f+T'2 Л
Un=Eam J cos(mcot)COS(MDt)dt = XamImn (2.11)
РЯДЫ ФУРЬЕ |399]
За исіслючением случая, когда m = п, эти интегралы равны нулю. Значит, в сумме остается только один член, заданный так:
Та,
если п = О
Tan 12 если n > О
(2.12)
Поскольку для данного члена m = п, то ат можно заменить на ап. Инвертируем выражение и найдем:
1 +Т/2
а0=- J U(t)dt
1 -Т/2
(2.13)
Это постоянная составляющая, и можно считать ее средним значением функции U(t). Для п > 0 имеем:
2 +т/2
а„ =— J U(t)cos(ncot)dt
T -т/2
(2.14)
Решение интегралов для нахождения коэффициентов Фурье требует практики. Вам необходимо проанализировать следующие примеры.
2.2. Меандр
Теперь определим коэффициенты Фурье для прямоугольного сигнала (меандра) с напряжениями +1 и -1 (рис. 2.1а).
!-Т/4 Т/4
0 t -Т/4 0 Т/4 t
а) б)
Рис. 2.1. Сигнал прямоугольной формы (а) и временная диаграмма для прямоугольных импульсов со скважностью 50% (6)
Среднее значение равно нулю, следовательно, постоянная составляющая отсутствует. Составляющие переменного тока заданы как:
2+т'2
an = — J U(t)cos(ncot)dt
T -Т/2
(2.15)
Если п - четное, то при любом значении меандра (положительном или отрицательном) интеграл по времени равен нулю. Это означает, что ап равно, нулю, если п четное. Если п нечетное, то интегралы по положительной части меандра будут такими же, как и интегралы по положительной части косинусоидального сигнала. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать косинус и меандр. Тогда можно записать:
4OfJ] ПРИЛОЖЕНИЕ 2
4 sin(no)t) +Т/4 ^ 2 sin(ncot) +Т/4
T по) -Т/4 п -Т/4
(2.16)
Синусы оценивают как +1 или -1, и первые четыре коэффициента можно записать в следующем виде:
4
а, =+-
а =-
а = +
а =-
71
_4_ Зп А_ 5п _4_ 7я
(2.17) (2.18) (2.19) (2.20)
В данном случае имеются только нечетные гармоники, и коэффициенты меняют знак, то есть уменьшаются как 1 / п. Ряд Фурье для меандра имеет вид:
тт. ч 4I г X cos(3o)t) cos(5o)t)
U(t) = - cos(o)t)--y—^ + —K—+
я 3 5
(2.21)
Эти коэффициенты использовались при изучении смесителей частоты в главе 12.
Также с помощью ряда Фурье можно вывести коэффициенты для прямоугольных импульсов, ширина которых составляет половину периода (рис. 2.16). Как уже говорилось, эти импульсы имеют скважность 50%. Постоянная составляющая равна половине высоты импульса Un,. Другие составляющие - такие же, как для меандра, но должны быть умножены на Um / 2, чтобы учесть высоту импульса. Следовательно, ряд для прямоугольных импульсов со скважностью 50% можно записать в следующем виде:
U(t) = і- + Щ cos(oat) - +
2 те { 3 5
(2.22)
Этот ряд используется для анализа усилителя класса D в главе 10 и для определения разноса каналов при импульсной передаче сигналов в главе 12.
2.3. Выпрямленный коси ну сои да л ьный сигнал
Форма напряжения на выходе усилителя класса С, который изучался в главе 10, имеет вид выпрямленного косинусоидального сигнала (рис. 2.2а).
Первые два члена ряда Фурье используются для того, чтобы определить соотношение между постоянной и переменной составляющими. Запишем постоянную составляющую:
J Т/4
ао=~ J U-COS(COt)(It = U-/я
1 -Т/4
(2.23)
РЯДЫ ФУРЬЕ [4OT
основная составляющая будет иметь вид:
a, = ^ T U1n cos2 (0)t)dt = U1n 12 (2.24)
і -т/4
Основная частотная составляющая - это половина исходного косинусоидаль-ного сигнала. Такое определение имеет смысл, поскольку косинус существует только в течение половины периода.
V
Ot Ot
а] б)
Рис 2.2. Выпрямленный косинусоидальный сигнал для анализа Фурье (а) и короткие импульсы (б)
Гармоники заданы следующим выражением:
2 ™ U ™
an = — J U111 COs(Wt) cos(no)t)dt = -2- J (cos[(n - I)(Ot] + cos[(n + I)(Ot]dt
T -Т/4 T -Т/4
(2.25)
Если п нечетное и больше единицы, интегралы равны нулю. Понять это поможет функция косинуса. Если^п четные, можно записать:
а. =
2л
sin[(n - I)(Ot] sin[(n + I)(Ot]
n-1
n + 1
(2.26)
Синусы оценивают как +1 или -1, и первые четыре гармоники будут иметь вид: 2U
а = + ¦
а, = --
а =+¦
а„ = -¦
Зл 2Um 15л 2Um 35л 2Um 63л
(2.27) (2.28) (2.29) (2.30)
Здесь только четные гармоники, а коэффициенты меняют знак, то есть уменьшаются как 1 / (n2 - 1). Ряд можно записать следующим образом:
FT/, U1 U1 , ч 2U111 (cos(2(Dt) cos(4(0t) cos(6(0t)
U(t) = — + —=-cos(cot) + —-\ —-------- + —---
л 2 л 1 3 15 35
(2.31)
[402] ПРИЛОЖЕНИЕ 2
2.4. Короткие импульсы
В заключение найдем коэффициенты Фурье для коротких импульсов тока (рис. 2.26). В главе 11с помощью этих коэффициентов определялись крутизна в режиме большого сигнала для полевого транзистора с управляющим р-п переходом и выходное напряжение в двухполярных генераторах. Представим, что общий заряд в каждом импульсе равен Q, а импульсы короткие настолько, что для интересующих нас гармоник косинус будет равен единице при интегрировании по всему импульсу. Постоянную составляющую можно записать как:
