Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
ЭМШ = N / G (14.6)
Одно из определений эквивалентной мощности шума таково: это плотность шума на входе, которая приводит к появлению на выходе всех наблюдаемых шумов. Иногда еще употребляют термин относительный шум на входе.
14.2. Вектор шума
Векторы на комплексной плоскости можно использовать для расчета влияния шума на схему так же, как это делается для обычных напряжений переменного тока. Обозначим вектор шума как Un. Он отличается от обычного вектора, поскольку при его расчете надо принимать во внимание ширину полосы. Чтобы показать связь между вектором и удельной мощностью шума, рассмотрим ширину полосы, равную 1 Гц. Вектор шума является случайной переменной, поэтому для его описания воспользуемся теорией вероятности. Полученные результаты будут излагаться на основе математических ожиданий. Если термин «математическое ожидание» вам незнаком, понимайте его как среднее значение. В формулах математическое ожидание обозначается чертой сверху. Например, для напряжения шума Un с плотностью вероятности р математическое ожидание |Un|2 будет записано следующим образом:
|U. I2= J|Un I2 pdA (14.7)
где dA - элемент площади на комплексной плоскости Un. Чтобы установить связь с удельной мощностью шума N, запишем:
U Г г
N = _iL [Вт/Гц] (14.8)
2R
где R - сопротивление. Единица измерения Un - В/ -у/Гц . Это означает, что напряжение шума увеличивается как квадратный корень от ширины полосы в отличие от мощности шума, которая пропорциональна ширине полосы.
В наших вычислениях придется использовать некоторые арифметические свойства математических ожиданий. Используя уравнение 14.7 для постоянной а, запишем:
(14.9)
14.3. формула найквиста І325
так как из интеграла было получено произведение вектора на скаляр. Теперь предположим, что надо сложить два напряжения шума, U1 и U2. Математическое ожидание JXJ1 + U2]2 можно записать следующим образом:
Два последних слагаемых называют корреляционными. Члены корреляции являются комплексно-сопряженными, поэтому их сумма - действительное число. По корреляции видно, какая часть каждого из сигналов шума поступает от одного и того же физического источника. Если сигналы шума поступают от двух разных источников, например от двух резисторов, эти источники оказываются независимыми и их корреляция равна нулю:
где N1 и N2 - удельные мощности шума с напряжениями U1 и U2.
14.3. Формула Найквиста
Формула для расчета шума в резисторах была предложена Гарри Найквистом (Harry Nyquist), работавшим вместе с Джонсоном (Johnson) в компании Bell Telephone Laboratories. Найквист использовал положения статистической физики, подобные тем, на основе которых выводилась формула Планка для излучения абсолютно черного тела. Шум Джонсона можно представить как излучение абсо-/ лютно черного тела. Сначала необходимо понять, почему в резисторах возникает шум. Поскольку резистор нагревается, если на него подано напряжение или через него протекает ток, это означает, что тепловая энергия, связанная с колебаниями атомов, связана также с напряжениями и токами. Однако тепловые колебания приводят к появлению напряжений и токов шумов, даже если напряжение на резистор не подано. Опираясь на эти рассуждения, логично было бы предположить, что шумы не возникают в конденсаторе или катушке индуктивности, так как они не нагреваются при подаче на них напряжения или протекании через них тока. Передача и хранение энергии в этих элементах осуществляется посредством электрического и магнитного поля, следовательно, тепловые колебания и напряжение не связаны.
Для вывода своей формулы Найквист использовал теорию линий электропередачи, но нам проще рассмотреть RLC-цепь. Пусть мы имеем резистор R при абсолютной температуре Т, соединенный с последовательным резонансным контуром (рис. 14.1а).
Связь LC-контура с колебаниями атомов внутри резистора осуществляется при помощи соединительных проводников. Вычисления будем производить в несколько шагов. Сначала воспользуемся теорией цепей и найдем напряжение на конденсаторе, исходя из известного напряжения на резисторе. Затем проинтегрируем его по частоте, чтобы определить энергию, накопленную в конденсаторе.
и,+U212 = |и,|2 +|и2|2+и.и;+и;и2
(14.10)
U1U2=O
Поэтому можно записать удельную мощность суммы N: N = N1 + N2
(14.12)
(14.11)
Щб\ 14. ШУМЫ И ИНТЕРМОДУЛЯЦИЯ
С т Vc
Vn 2
а) б)
Рис 14.1. Вывод формулы Найквиста для напряжения шумов на основе RLC-контура (а). Вычисление полной удельной мощности шумов у резистора с согласованной нагрузкой (6)
Вектор напряжения шумов на резисторе обозначим как Un (рис. 14.1а). С помощью формулы делителя напряжения запишем напряжение на конденсаторе Uc:
U=-
1
и.
и.
JO)C R + jcoL +1 / (JO)C) -O)2LC +jcoRC+ 1 Математическое ожидание IUj2 составит:
Ul =
и.
|l- O)2LC + j0)RC|
(14.13)
(14.14)
При тепловом равновесии энергия, накопленная в катушке индуктивности и конденсаторе, описывается теоремой равномерного распределения, известной из классической термодинамики. Теорема гласит, что математическое ожидание энергии, связанной с резонансом, является тепловой энергией kT. О тепловой энергии говорилось в главе 9 при рассмотрении токов диодов и транзисторов. Буква «к» обозначает постоянную Болъцмана, равную 1,38 х 10 23 Дж/К. Накопленную энергию kT можно представить, умножив математическое ожидание для |UC|2 на С / 2 и проинтегрировав его по частоте.
