Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
I1 = UZ(R1+R3k). (2.15)
Токи в параллельных ветвях исходной схемы равны
h = UJR2; I3 = UJR3; I4 = UJR4, (2.16)
где напряжение Uab = R3KI\.
Соединение резистивных элементов звездой и треугольником.
Схему замещения цепи в виде трехлучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде треугольника, и наоборот. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и трехфазных цепей (см. гл. 6).
Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 2.20) получается приравниванием значений сопротивлений или прово-димостей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части схемы.
37
Найдем сопротивление между узлами аиЬ. Проводимость между узлами а и Ъ в схеме соединения треугольником (рис. 2.20, а) равна
_J_ 1 _ ftflfc + R-ЬС + ^CA
Ко* ^ic + Ka KbKc + KaKb
Сопротивление между узлами а и Ъ — величина, обратная проводимости МеЖДУ ЭТИМИ узлами, Т.Є. Rab=(RabRbc + RCgRab)/(Kb + Вы + + Real
В схеме соединения звездой (рис. 2.20, б) сопротивление между узлами аи b равно сумме сопротивлений двух ветвей: A0 + Rb. Условием эквивалентности является равенство
R11 + Rb = RgbRbc + RcgRgb _ KbRfx + KgRgb Q 17)
K0* + Rbc + Reg S
где ?ЛД — сумма сопротивлений всех ветвей в схеме соединения треугольником.
Циклическая перестановка индексов в (2.17) определяет условия равенства сопротивлений между одноименными узлами бис и между узлами сна схем треугольника и звезды
R„+K = RbcRc°+ Rab Rbc; (2.18)
Rc+R0 =KaRg?^RbcKg (219)
Сложив (2.17) и (2.19) и вычтя из этой суммы (2.18), найдем выражение для сопротивления ветви звезды:
K=RcbKg/lR*. (2-20)
Циклическая перестановка индексов в (2.20) определяет выражения для сопротивлений двух других ветвей звезды:
38
Rb = RfcRab/jZ Ra>
K = RcaR-id^R-A-
(2.21) (2.22)
При равенстве сопротивлений ветвей треугольника (R111, = Rbc = = Rc = Ra) сопротивления ветвей эквивалентной звезды тоже одинаковы:
R1
(2.23)
Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого умножим попарно выражения (2.20)-(2.22) и сложим полученные произведения:
R0Rb + RbRc + RcR0 = RabRbcRca/(Rab + Rbc + Reo)-
Разделив это соотношение на (2.22), определим сопротивление ветви треугольника:
Rab= R0 +Rt +RaRb/Rc- (2.24)
Циклическая перестановка индексов в (2.24) определяет выражения для сопротивлений двух других ветвей треугольника:
Rb=Rb + Rc + R6RcZR0; (2.25)
Rc0=Rc + R0 + RcRJRb. (2.26)
Пример 2.3. Рассчитать сопротивление мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис. 2.21, а) при значении их сопротивлений: R0I, = R1x = 10 Ом, Rco = 20 Ом, Rt = 2,5 Ом, R2 = 5 Ом.
Решение. Заменим схему соединения резистивных элементов R00, Rbc, Reo треугольником эквивалентной схемой соединения звездой, сопротивления ветвей которой определим по формулам (2.20)— (2.22):
R0 = 5 Ом, Rb = 2,5 Ou, Rc = 5 Ом.
В полученной схеме смешанного соединения резистивных элементов заменим две параллельные ветви одной ветвью с эквивалентным резистивным элементом (показан на рис. 2.21, б штриховой линией), сопротивление которого определим по (2.14):
JRc+R1)(Rb+R2) 0м Rc+R1+ Rb +R2
Сопротивление мостовой схемы и полученной эквивалентной схемы с последовательным соединением двух резистивных эле- а ментов равны R0 + R3K = 8,75 Ом. Рис. 2.21
39
2.11. Метод узловых потенциалов
Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых независимых уравнений для расчета цепи до Y- 1, где Y— число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем.
1. Один узел схемы цепи принимаем базисным "с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет разности потенциалов между узлами, а следовательно, напряжения и токи ветвей.
2. Для остальных Y-X узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, .выражая токи ветвей через потенциалы узлов.
3. Решением составленной системы уравнений определяем потенциалы Y- X узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (2.12).
Рассмотрим расчет цепи, содержащей Y= 3 узла (рис. 2.22). Узел 3 принимаем базисным, т.е. потенциал k3 = o. Из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов / и 2
Ii+I3 + Jx=O; I2-Ii-Ji = O
после подстановки выражений токов через потенциалы узлов I1 = = (V1 - V3)ZR1 = ViI%; I2 = (V2- V3)ZR2 = V2)R2; I3 = (V1-V2 + E)/R3 получим
R1 + R
--Lk1 +
R3
V1
_х_
V2
R2 R3
E
V1=J7 +
R^
(2.27)
Решение системы уравнений (2.27) определяет потенциалы узлов к| и V2, а следовательно, и токи ветвей по (2.12).
Из записи (2.27) очевиден принцип составлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положительный и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей. Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассматриваемым узлом, отрицательные и равны проводимостям соответствующих ветвей.
Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму
Рис. 2.22
