Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для планарных схем, т.е. допускающих изображение на плоскости без пересечения ветвей, достаточным условием выделения независимых контуров является наличие в каждом из них одной ветви, принадлежащей только этому контуру.
Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.
Решение системы уравнений определяет токи ветвей.
34
Рассмотрим расчет схемы цепи на рис. 2.16, которая содержит Y= 2 узла и B= 3 ветви, т.е. K=B- Г+1 = 3-2+1 = 2 независимых контура (1 и 2, или 1 и 3, или 2 и 3).
Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей /|, I2, I3- По первому закону Кирхгофа составляем одно (X— 1 = 2—1 = 1) независимое уравнение, например для узла а,
и по второму закону Кирхгофа — два (K= 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и 2:
Рис. 2.17
-/,-Z2+Y3=O; R1I1 + R3I3 = E1 + E3; R2I2+R3I3 = E2+E3,
(2.13)
где напряжения на резистивных элементах определяются по закону Ома.
Решение системы трех уравнений (2.13) с тремя неизвестными токами определяет токи ветвей I1, I2, I3.
Пример 2.1. С помощью законов Ома и Кирхгофа определить токи всех ветвей схемы на рис. 2.17 при значениях параметров элементов: E1 = I В, E2 = 2 В, E3 = 3 В, E4 = 4 В, Л, = 4 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 1 Ом.
Решение. Схема содержит число ветвей B= в, узлов Y= 4, независимых контуров K= В- Y+ 1 = 6- 4+1 = 3.
Выбираем положительные направления токов в ветвях I1, I2, I3, I4, I5, I6 и обозначаем узлы а, Ъ, с, d.
Выбираем три (K= 3) независимых контура 1, 2, 3, отмеченных на рис. 2.17 штриховой линией, и направления их обхода.
Составляем три (K= 3) независимых уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров 1, 2, 3), три (У — 1=4—1 = 3) независимых уравнения по первому закону Кирхгофа (для узлов а, Ъ, с) и, решая их, определяем токи ветвей:
R3I3 = E4-E2 (контур /);
-R2I2 = E3+E4 (контур 2);
-R3I3 + R\I\ = Ei+ E3 (контур 3);
I3 = (E4 -E2)IR3 =(4-2)/1 = 2 А;
I2 = -(E4 + E3)IR2 = -(А + 3)/2 = -3,5 А;
/, = (Ex + E3)IR3 + (R1 IR3)I3 = (1 + 3)/4 + (1/4) 2 = 1,5 А;
35
V._ _J
b
Рис. 2.18
/4 = Z1 + I3 = 1,5 + 2 = 3,5 А (узел a);
15 = -I2 + Z4 = 3,5 + 3,5 = 7 А (узел b);
16 = Ix - I2 = 1,5 + 3,5 = 5 А (узел с).
В правильности решения можно убедиться, проверив справедливость первого закона Кирхгофа для узла d:
I6+ /3-/5 = 5 + 2-7 = 0.
Обший случай. При расчете схем с источниками ЭДС и тока возможны упрощения. Действительно, токи Bj ветвей с источниками тока известны и равны токам источников тока. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно K= B-Bj- Y+\.
Пример 2.2. С помощью законов Ома и Кирхгофа определить токи всех ветвей схемы на рис. 2.18 при значениях параметров элементов: E= 5 В, /= 2 A, Rx = 2 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 3 Ом.
Решение. Схема содержит число ветвей B= 3, из которых с источником тока Bj= I; узлов Y= 2 (а и Ь); независимых контуров (без источников тока) K= В- Bj- Y+ 1 = 3 - 1 + 2 - 1 = 1 (контур /).
Выбираем положительные направления токов в ветвях и обозначаем их Ix, I2, I3. Ток I3 = J= 2 А.
Составляем одно независимое уравнение по второму закону Кирхгофа (для контура /, выбрав направление его обхода) и одно (Y- 1 = 2 - 1 = 1) независимое уравнение по первому закону Кирхгофа (для узла а):
RxIx -R2I2 = E (контур /);} 2Ix - M2 = 5;
> или
Ix +12+13 =0 (узел a); J /, + I2 = -2.
Сложив почленно первое и второе уравнения, определим ток Ix = 1 А, а затем из второго уравнения — ток I2 = -3 А.
Используя законы Ома и Кирхгофа, можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: эквивалентного преобразования схем, контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения и т.д.
2.10. Метод эквивалентного преобразования схем
Расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены
36
Рис. 2.19
иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.
Смешанное соединение резистивных элементов. В схеме с одним источником внешнюю по отношению к нему часть схемы можно рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.
Для расчета такую схему следует преобразовать в эквивалентную с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в схеме на рис. 2.19, а между узлами а и b включены три резистивных элемента сопротивлениями R2, R3 и R4, т.е. про-водимостями G2 = l/R2, G3= l/R3, G4= XfR4 и эквивалентной проводимостью
G3k=IZR2+XZR3+IZR4.
(2.14)
Заменив параллельное соединение резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом сопротивлением R3k = - 1/Сэк> получим эквивалентную схему с последовательным соединением двух резистивных элементов R1 и R3k (рис. 2.19, б), ток в которой равен
