Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
S (t0) = 1 - F (t0). (6.125)
Для высокоточных шарикоподшипников функция распределения наилучшим образом описывается формулой Вейбулла
¦ F(O = I'1 — е* при <>а; (6.126)
' О при t<Ca,
где а — параметр сдвига, означающий, что технологические условия производства, а также условия эксплуатации подшипников исключают долговечность, меньше значения этого параметра; b — параметр масштаба, характеризующий «растянутость» кривой распределения вдоль оси t\ k — параметр изнашивания.
Коэффициенты а, Ьи k заранее неизвестны. Для определения этих коэффициентов разработаны специальные методы; некоторые из них рассмотрены дальше.
Функцию F (t) можно пытаться найти эмпирически. Проведя большое число испытаний, можем найти ее приближенный вид (рис. 6.21), причемэто приближение будет тем точнее, чем больше
253
F(t)
0,75
0,50
0,25
/ r(t)
і
SOO
1000
t,4
Рис. 6.21. Статистическая функция распределения
испытаний проведено. Такая совокупность испытаний .называется выборкой. Выборка характеризуется средней величиной т и дисперсией (мерой разброса) S2, которые определяют по формулам:
Х~ п ' & ~ п—\
(6.127)
где п — число испытанных подшипников.
Непрерывная случайная величина, распределение которой эмпирически изучается посредством одной или нескольких выборок, характеризуется математическим ожиданием т и дис-" при этом
т
Персией сг
со со
= \ xf(x)dx; a2 = J (т — mff(x)dx
(6.128)
Величины т и т, а также S2 и сг2 отличаются друг от друга, однако это отличие тем меньше, чем больше объем выборки п.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы по результатам выборки (T1, т2, . . ., Xn) определить неизвестные параметры а, Ь и k и при помощи функции распределения (6.126) ответить на все вопросы о долговечности подшипников.
Если при испытаниях подшипников наблюдаются отказы в виде внезапного разрушения, то функция распределения F (t) имеет экспоненциальный характер. В частности, если F (t) = 0 при t < а (т. е. случайные величины X1 ограничены слева), имеет место экспоненциальный закон распределения со сдвигом, характеризуемый параметрами а и Ь. Функция распределения и плотность для этого случая имеют вид
О при t ¦¦
t-
; а;
Ht)-
1 — е при ?>а;
О • при 1<а; 1 - —
-7-е ь при t^>a.
(6.129)
(6.130)
Иногда при испытании на долговечность часть подшипников может выйти из строя вследствие внезапного разрушения какого-либо элемента, а часть —'¦ вследствие изнашивания. В этом случае экспо-
254
ненциальный закон Искажается и получившаяся кривая распределения наилучшим образом описывается формулой Вейбулла [43]. Функция плотности для этого распределения будет
[ 0 при t а;
при*>а. (6-131>-
При & = 1 вейбулловское распределение сводится к экспоненциальному. Величина
называется интенсивностью отказов. Она характеризует условную скорость разрушения подшипников в интервале времени от t до t + dt в предположении, чтодо момента времени t подшипник остался неразрушенным.
Заменим в равенстве (6.132) функции F (і) и f (t) их выражениями из равенств (6.129) и (6.130). В результате для распределения Вейбулла получим
10 при ?<а;
Ht-а)"-1 при ^a. - (6-133)
В случае экспоненциального распределения при k = 1 имеем
0 при t<Za;
Ч0 = Ц- при />в. (6Л34)
Как видно из формулы (6.133), при совместном действии внезапных и вызванных изнашиванием отказов интенсивность отказов 1K (t) повышается вместе с t. Скорость этого повышения определяется параметром k, поэтому его называют параметром износа. При экспоненциальном распределении интенсивность отказов зависит не от времени, а только от параметра Ь.
Рассмотрим методы оценки параметров распределения.
Метод мо м.е н т о в . При большом объеме выборки дисперсия S2 будет асимптотической оценкой для а2 (т. е. а2 — s2 — > 0 при п —> со) и т — асимптотической оценкой для т, поэтому в первом приближении можно положить т т, s2 я» сг2. Вычисление по формулам (6.128) с использованием функции f (t) и обозначения k = = 1/ос приводит к следующим результатам:
т = а+Ьа\\ о2 = Ь2 [(2а)! — (а !)2 ]. Пусть параметр а известен, тогда
Ъ = , ; а = т — bal
К (2а)! —.(а 1)2
255
Таблица 6.7
Значения
V (2а) I — (а!)2 1
а!
а!
Га'
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,0000
1,000
0,1203
1,051
0,2290
1,089
0,3307
1,114
0,4279
1,127
0,5227
1,128
0,6165
1,119
0,7102
1,100
0,8052
1,074
0,9017
1,040
0,0127
1,006
0,1316
1,056
0,2394
1,092
0,3406
1,116
0,4375
1,128
0,5321
1,128
0,6258
1,118
0,7195
1,098
0,8148
1,071
0,9115
1,036
0,0253
1,011
0,1428
1,060
0,2498
1,095
0,3504
1,118
0,4470
1,128
0,5415
1,127
0,6352
1,116
0,7290
1,096
0,8244
1,067
0,9213
1,032
0,0377
1,017
0,1539
1,064
0,2601
1,098
0,3602
1,119
0,4565
1,129
0,5509
1,127
0,6446
1,115
0,7385
1,093
0,8340
1,064
0,9311
1,028
0,0499
1,022
0,1649
1,068
0,2704
1,101
0,3700
1,121
0,4660
1,129
0,5603
1,126
0,6540
1,113
0,7480
1,091
0,8436
1,061
0,9409
1,024
0,0620
1,027
0,1758
