Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
тается, что формулы Герца применимы, если остаточная деформация б =?: 10-4?)ш, где D10 —диаметр шарика; эти вопросы подробно рассмотрены в главе 6.
Для высокоточных шарикоподшипников предельно допустимые остаточные деформации еще не установлены. Высокие требования, предъявляемые к этим подшипникам по моменту трения, малошум-ности и другим эксплуатационным параметрам, потребуют значительного снижения допустимых остаточных деформаций по сравнению с указанными для подшипников общего применения.
Как известно, при начальном точечном контакте давление на площадке контакта распределяется по ординатам половины эллипсоида, построенного на этой площадке (рис. 1.4).
- />-л|-*1Л-(4-/-(?". ¦ 0-3.)
где P0 — давление в центре эллипса; а, Ь, с — полуоси эллипсоида.
(З-)'+(«' + (і)'-.. 0-32)
где X1, I)1 — координаты произвольной точки эллиптической площадки контакта, при этом ось X1 направлена по большой оси эллипса, а ось ух — по малой.
Приведем решение контактной задачи для общего случая касания, предложенное В. М. Макушиным [11].
При распределении давлений по закону (1.31) перемещение точек поверхности полупространства, лежащих в нагруженной области,
^=1-^^[аЬК-^Мх\~^{К-М)у\\, (1.33) где ц— коэффициент Пуассона; E — модуль упругости; К(е) =
Л/2
— \ , = — полный эллиптический интеграл первого
J Kl- e3sin2q> . г
о _
рода; е='уГ\ — (4")2 — относительный эксцентриситет эллипса;
Я/2
L (е) = j У 1 — е2 sin2 ф dtp — полный эллиптический интеграл второго рода; M (е) =--^- [К(е) — L (<?)].
Рассмотрим два тела, ограниченные криволинейными поверхностями (рис. 1.5). Назовем одно из них первым и все относящиеся к нему величины обозначим с индексом I; другое тело назовем вторым и присвоим всем его величинам индекс 2. Если же индексы будут отсутствовать, то это значит, что соответствующие величины относятся как к первому, так и ко второму телу.
Допустим, что тела касаются в некоторой точке, не являющейся особой. Примем эту точку касания за начало координат. Отнесем
15
Рис. 1.4. Эллипс контакта
Рис. 1.5. Соприкасающиеся тела
первое тело к некоторой прямоугольной (декартовой) системе координат О, X1, ylt Z1, а второе тело — к системе.О, х2, y2, Z2- Оси X1, ух и х2, у2 расположены в общей плоскости, касательной к рассматриваемым телам в точке О, а оси Z1HZ8 — на общей нормали к поверхностям касающихся тел, проходящей через точку О. За положительное направление оси Z1 взято направление внутрь первого тела, а за положительное направление оси Z2 — внутрь второго тела. Вблизи точки О
Имея в виду малые значения х и у, разложим каждую функцию / по этим параметрам
При этом в функции f и ее частных производных полагаем х = = у — 0. Благодаря тому что поверхности обоих тел проходят через начало координат, f (О) = 0. Кроме того, так как плоскость Оху касательна к поверхности в начале координат, то
Следовательно, ряд (1.35) не будет содержать свободных членов й членов с первыми степенями независимых переменных.
Члены со вторыми степенями заведомо отличны от нуля, так как по условию точка О не является особой точкой для рассматриваемых поверхностей.
Поскольку нас интересуют малые значения х и у, то в равенстве (1.35) можно не учитывать члены, содержащие х и у в третьей и более высоких степенях, и записать уравнения соприкасающихся поверхностей вблизи точки О в виде
Zi = Zi(Xi, УіУ, z2 = f2(x2, уг).
(1.34)
дхг ду%
Ox1 Oy1
Y и л- 21h- i?
Х2У2 T Tip У2 ¦
хіУі + -тт УV
(1.37)
16
При этом Ib частных производных полагаем Xj — у) = 0 (/ = 1,2).
Совместим реи X1 и у! с линиями пересечения касательной плоскости с плоскостями главных нормальных сечений первого тела, ггогда
дхі
= Pu'.
Ox1 Oy1
0;
= Pl?.
(1.38)
где P11 и р12 — кривизны главных нормальных сечений первого тела в начале координат так как первые производные здесь обращаются в нуль.
Аналогично для второго тела
дх\
p2i;
3*2 ду2
= 0;
У Уz
Рис. I.e. Схема расположения систем координат
ду\
Ргг>
где р21 и р22 — кривизны главных нормальных сечении второго тела в начале координат. .
Кривизну считаем положительной, если соответствующий центр кривизны лежит внутри тела.
Итак, уравнения рассматриваемых поверхностей в окрестности у^^точки О касания могут быть представлены в виде
\Э' 2zi = puxi + рюуЪ
2Z2 = paiJcS + pvyl (1.39)
Обозначим через ©угол между осями X1 и х2, т. е. угол между плоскостями кривизн P11 и р21. Рассмотрим теперь преобразование уравнений (1.39), отнеся их к некоторой системе координат О, х, у, расположенной так, что оси X1 и ух образуют соответственно с осью X углы O)1 и (о2, где (O1 — (O2 = (о (рис. 1.6).
Используя известные формулы преобразования координат при вращении координатной системы, получим
X1 = X cos (D1 — у sin (O1; ¦
ух = X sin (O1 + у cos (O1; (1-40)
X2 = X COS O)2-— у Sin (O2'. у2 = X sin (O2 + у COS (B2-.
1 Первый индекс у кривизны относится к соприкасающемуся телу, второй — к главной плоскости, в которой измеряется данная кривизна. ...
2 м. П. Ковалев ЙЛ ТЕХНИЧЕСКАЯ &\ 17
