Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
X
J=O 1=0
XCOStY-^ = O; (3.140)
1=0 i=0
¦Af2
X--COSiV = O1 (3.141)
109
где /
Lj = [Sin CC0 +.С + (- 1)Ж (la + ScOSlY)]2 +
+ {cos ao + [Ir + (-I)1 Є*] cos iy)2 = M • + N3f, Mj=SiTi O0 + ll + (—(I« + 9 cos iy);
Nj= cosoo+ [Er + (— IVO*] cosiv- (ЗЛ42)
Здесь 8* = =r- 9; / = 1, 2.
Разложим левые части равенств (3.139)—(3.141) в ряды по степеням малых параметров \а, 1Г и Э, предварительно обозначив их соответственно через O1 (la, In 9), Ф2 (1а, |_„ 8) и Ф3 (la, In 8).
Для произвольной функции Фу- (1а, In 8) имеем
^ оФ/ дФі дФ/ -
Oj(I0, In Q) = Oj+ -^la+^lr + ^Q +
Э2Ф/ №Ф; - &Фі - \
+ 2 ^-^r lair + 2-L 1<д + 2 -=-і- Og0) + ••• (/=1, 2, 3).
(3.143)
Введем используемые дальше следующие соотношения: ^ ==2(-1)'+1 M1; 1±=2NjCosiy;
^ = 2(-1)^ (M1-4-N1)COSiY,
дМ, .,, dMj дМ/ ,,,
Ж=^1)7 ; W = 0' -^- = (-l),+,cosfY; (3-144)
_l = 0; -^ = COs17; -^^(-I^cos/y;
Ограничимся для функций O1 включенными в выражение (3.143) членами ряда и запишем эти функции в виде
Ф/ (S«, Ir, Є) = CLj 0 + й/ & + bj х|, + Cy !0 +
-f-a/2^+&/2S2 + C;292 + a/3§0|r + b/3^U 4- ?,3?» (3.145).
110
где
а/0=Ф/; C71 эф,-= ж; ЭФ/ Ж' cil ЭФ/ (3.146)
і д2Ф/ а'г~ 2 ДЕ2 ' «а , 1 -/.= 2 <Э2Ф/ all ' 1 2 с-Ф/ эё2 '
_ эгф/ • 6 _ <Э2Ф/ л сі з — <Э2Ф/ (/ = 1, 2, 3).
~ air эе' дЪ Ota
В формулах (3.146) необходимо положить I0 —\г — 9 = 0; при этом
L1 = 1 4- 2|д sin an +1?; Af/= sincto + Eai ,/V/ = cosao (/=1,2).
В табл. 3.8 приведены значения величин ХІ'т, используемых при вычислении частных производных равенств (3.146); при этом введены обозначения
^ = T1,. (/=1, 2).' (3.147)
Обозначим, кроме того,
J-1/2-I = X/ (/=1, 2) (3.148)
Таблица 3.8
Значения величин X^JJ1
т k
1 2 - 3
і і-и -1 11/ + X 1-й- . /-/ + *• у Vi-Hy
2 • П72(1-2Т12)
3 ( л/ + *- у , л/ + *- С Л/ + *- V O11-I Л/ + *
V і-н- J 1 ^ 1-?. V 1 — И / " 1 1 —H-
4
5 .
6
111
и перепишем равенство (3.143) в виде
Фі(Ь. Ir, в)= 2] ^Hi-^^w)-^0- (ЗЛ49)
/=1 \ i=0 ' /
Вычислим некоторые частные производные функции
2
чЖ„,3/2
/=1~
/.= У!(-і)'+,хг5
(3.150)
Имеем
o|fl 2 7,? L1 [ + З x/ Li/2 j -2 '=1
2
/=1
^ .+2: <- '>'+,*"° (>+*#--^
r /=1 y
t = i^(-i)-V^0-H)x
X +2Xz7W-T-^-Tr] COs2l"Y; (ЗЛ5І)
=1V v7v» A f і , 2,. _ А г>Ж\ cos fr o|ao|r 4 ^j« z.3/2 -r^Xi Lya з Xj L/ j cos 1V.
/=1
<Э2/, 3 . -1/2 M1N
('+^I-4x?f)co,iv;
112
ае dla
X
№ 4 2 4P \
-т*'-ег )cosiy-
Lf
Положив в равенствах (3.142) %a = lr = 6 = О, получим
*2.
Lj=L=I + 2la sin ao + la', ' Mj= M = sinОСо + Іо'» Mj = N = COSa0 (/=1,2).
(3.152)
ИСПОЛЬЗУЯ ПОСЛеДНИе СООТНОШеНИЯ И ОПУСТИВ В ВеЛИЧИНаХ T]/,
X/ и сс(/т индексы /, вместо равенств (3.151) имеем
Ж _
dla ~ "Л L Г 1 3
air и>
-1-=3^(1-^)(1 +^-x^)cosiy;
1/2 Af2
ае
¦ Li?
Щ-=0; ^ = 0; ^ = 0; ai2 di2r 392
= -f Х-І/2 Ш + -fx2^)cosiY; (3.153)
а2/і _ _ __
діадіг ~2А L3/2 ^ -Г -Л Ll/2
a°/i . з 1/2 п ы л о X15
4-X2T1) cos2 «v;
aeair
:0.
С помощью формул (3.146) и (3.153) найдем'коэффициенты разложения функции Q)1 (la, lr, 6) в тройной ряд Тейлора. Заметив, что z-i z=i (2 —при Z = 2;
S cos iy = 0; S cos2 iy = \ z (3.154)
(=0 J=O " " "
-9--при Z>2,
будем иметь
CL10=—-
о 1/2 , 2 If \
8 М. П. Ковалев
113
-її=-; C11 = O; al2= 0; &l2 = 0; C12 = O; ?13=0. (3.155)
X - »ч) (і + % І- x>^-);
C13=O.
Таким образом, укороченный ряд (3.143) при / = 1 принимает следующий вид:
-io + -iiSe + -u^-=0. (3.156)
Обозначим левую часть равенства (3.140) через Ф2 (Е~, Ег> 9) и запишем ее в виде
2 / Z-I \
Ф2 (la, In в) = 2] X ^ Тр"cos I - ? = 0. (3.157)
/=1 V ,=0 }
Введем функцию
xf-^-cosiy. (3.158)
/=і
Найдем частные производные функции /2 по искомым параметрам \а, \г и 6. Используя обозначения (3.150) и (3.151), а также данные табл. 3.8 и опустив в величинах X1 и с4т индексы /, получим
1Г=0;
¦f = 4xJ'2^(l + 2Х Jfc--^ Х«-%-)««*,; (3.169)
¦^¦-4----^-(1 + ^-4.?1)^
-Ба dir
= 0;
0;
dlrdQ
= -4- X-« ^ (1 - Ял) (. + 2x f X^)COS- „.
114
Просуммировав правые части равенств (3.159) по всем значениям і от і = 0 до і = Z — 1 и учитывая соотношения (3.154), а также равенство (3.102) при Z > 3, получим
Cton —-
Fr
л и 3 1/2 N* Л 2
1
C21 - 0;
а22==0; b22=0; C22=O; а23=0; O23 = 0;
С = 4 Х-'72 ^ (1 - (1 + 2Х ^ - 4 • (3-160)
Таким образом, укороченный ряд (3.143) при / = 2 принимает следующий вид: _
Ом + Ыг + ^»6"=0- (3-161)
Представим теперь равенство (3.141) в виде
/=1
7+1
Z-I
i=O '
= 0. (3.162)
Для разложения функции Ф3 (?а, |г, 8) в тройной ряд Тейлора вычислим частные производные по искомым параметрам |а, ^ и 0 функции
л-у:
(-I)!+1 у3/2 J^L
Y cos iy
(3.163)
и, введя в них соотношения (3.152), получим
— - ' " >>а" ' І" X fi72-1 cos iy;
3xI/2^(i-^)fi+ 2- Яі1
