Технология полупроводникового кремния - Фалькевич Э.С.
ISBN 5-229-00740-0
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, теплопередача подчинена уравнению баланса (в сферических координатах): д2Т 1 дТ дТ дт Э Гі Эг
?—тг'^т,—v—этг- W
Распределение веществ» в зависимости от температуры следует закону
RT0In(a0/a) = L(T-T0)/T, (2)
где O0 и о - активность в материнской фазе при температуре переохлаждения T0 и при конкретной температуре T-R- универсальная газовая постоянная; L - теплота превращения.
Распределение температуры в материнской фазе согласно (1) определяется соотношением
T =T0 + [(Tr-T0)rA1]. (3)
Здесь Tr - температура на границе раздела; г - размер кристалла; гі - текущая координата (расстояние от центра кристалла до точки, в которой измеряется температура). 1
Из выражений (2) и (3) можно определить распределение активности
53
в направлении роста (грани): а = а0 ехр (- ?r/rj; ? = (Д5/аД)[(Гг -
- Г0)/Гг].
Особенность такого распределения заключается в том, что на кривой а(гх) имеется точка перегиба д2а/дг2 = 0. Расстояние до этой точки X = r(?/2 - 1) назвали толщиной дворика кристаллизации.
В теории существует более точное выражение
? = [2Тг(Гг - T0MT0 (Tr- Tt)]. (4)
В данном случае Tr является равновесной температурой на границе раздела. Это температура, которая определяется равновесием при данной степени шероховатости границы раздела. Во время же роста или плавления (в отсутствие равновесия) температура на границе соответствует Tr. Согласно Томсону- Фрейдлиху
Tr = Tnn - 20М VTnnZ(Lr0). (5)
Для растущего твердого тела г0 = а* - расстоянию между ступеньками; для капли жидкости, растущей из газа, - радиусу кривизны границы раздела.
Если (5) подставить в (4), получим
To(Tnjl-Tr) T0OMVTm ¦
Tt (Tr - T0) ^r(Tr-T0)Ie*
Определим теперь скорость роста кристалла, для чего решим уравнение 32(г1, a)/9 rf = 0, используя вместо о величину С- концентрацию (примесей или вакансий в зависимости от того, что является тормозящим звеном). Граничные условия при Ti = т, C = Cr, T1 = Гх, C = Cx. Тогда количество вещества, диффундирующее через дворик кристаллизации
(х=гх-г): t
Г Cx-Cr
q = 4UD \ ----------rxrdf,
J гх т
0
а скорость роста v = (D/P)(Cx -Cr)(l/x + 1/г); здесь D - коэффициент диффузии; P - плотность выделяющегося вещества.
Если подставить значение х и учесть, что і (AT'-ATi)2 (Cx-Cr) ~ (C0 - Cr) -----ду;-----«п,
где ^T1- минимальное переохлаждение, после которого начинается рост кристалла (граница метастабильности); «п определяется из
наклона кривой ликвидуса. Кроме того, Cx-Cr555 («п/2) AT0 («п/2) A7Y, где ^Tt= Tr- Гг, причем Гг= 7пл— (°МVTnnJLa*).
Т°ГДа «п JOMVTihi
Cx-Cr= — (Гпл- Гг------------—)
Я«п (Tnn-Tr)-AZa*
ИУ"~2РГ T0(Tnn-Tr) 5Ї ^
1_ Tr(Tr-T0) +"17“?г
здесь / = [20МУГпл/1(Гг- Г0)];Л = 2WVT™IL.
Из уравнения (6) можно получить очень важные сведения о форме границы раздела между фазами.
Действительно, для сохранения положительной скорости роста необходимо, чтобы
^nn ~ Тт A — ТГ
^-<1 ,K=
Tr-T0 (Tr — T0)в* Tr-T0 •
Это уравнение позволяет классифицировать состояние поверхности раздела следующим образом:
1. Если О < К < 1, выгоден рост в сохранением плоской молекулярно-гладкой поверхности. Действительно, в этих условиях при O* “*¦ 00 скорость роста максимальна, и процесс перехода в равновесное состояние завершится за более короткое время.
2. Если К > 1, то для того, чтобы скорость роста была положительной, необходимо сохранять оптимальную степень шероховатости; при этом г’/а* должно компенсировать превышение К над единицей. Естественно, что для каждого переохлаждения будет сохраняться своя шероховатость.
3. Если К < 0, то этот случай соответствует теплоотводу через растущую фазу либо растворению (плавлению, испарению) конденсированной фазы.
Действительно, если Tr < T0, а Гпл- Гг всегда или меньше единицы, или равно нулю, то при (Tnn - Гг) > О сохранение положительного и максимального значения скорости роста обеспечивается постоянством некоторой степени шероховатости границы раздела. При этом
Го (Tnjl-Tr) T0 А
ї<0. (7)
Tr(T0-Tr) (T0-Tr)Tr а'
4. Если же Гг < Г0, а Гпл-= Гг, то происходит плавление
55
Dan
А/а* г
T0 А' ’ а* < !•
1-
5. Если материнская фаза - газ, а растущая - жидкость, то в силу того, что для жидкой поверхности а* = г/2 (т.е. лоловина радиуса жидкой капли), граница раздела всегда будет округлой (без учета смачиваемости стенок сосуда).
Таким образом, К является критерием устойчивости плоской границы раздела для любых условий роста. По выражению (7) судить о действительной величине К не всегда возможно, так как первый член соотношения на практике определяется трудно. Величину Tr, которая мало отличается от Tnn и T0, замерить с необходимой точностью удается лишь в редких случаях.
Однако достоинство теории как раз и проявляется в том, что величина первого члена в разности (7) определяется через энтропию фазового превращения A S = L/T.
Расшифруем эту зависимость. Если материнская фаза состоит из атомов одного сорта, а вторым компонентом являются вакансии, то на границе раздела во время роста новой фазы скапливаются вакансии и вся суть реакции сводится к тому, чтобы частицы фазы диффундировали к границе по мере того, как от нее будет отводиться тепло.
