B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
где S1 = A1S, А"1 = A? [Kyy - KyxQ^Kxy ]"' Д-, Q~l =A?.А? КГ±А? A2, Y1=A1Y, B1=AlKyxQЛ X1=X, ^,=1^-^=1^^-4]^
При такой записи пространственно-временной (корреляционной) матрицы Q~x, зависящей только от свойств пассивных пунктов, надо писать X1= X (хотя конечно X1 = A2X , что учтено в Q'1). Отношение сигнал/помеха на выходе двых1, как и оптимальный алгоритм обработки
: (2п)~2' exp (S1tA"1 (Y1-B1X1)- двыуЛ },
(1.40)
^ = InA + двых1 + 1п(2тс) = S1tA-(Yi -B1X),
(1.41) ГЛАВА 1
зависит не только от пространственно-временных параметров пассивных пунктов, но и от свойств антенных систем и матриц корреляций активных пунктов. Удвоение в (1.40) и (1.41) правой части происходит в силу того, что транспонирование не меняет скаляров, поэтому
St D^(Yl-BiXi) = (Y1-B1X1)tDJS1.
Кроме того, оператор -T указывает на обращение и дополнительное транспонирование обратной матрицы.
Полученные алгоритмы оптимальной АПС пространственно-временной обработки можно реализовать по-разному. Так на рис. 1.3, б, в блоке К производится либо запись в память блочной матрицы предварительно вычисленных функций корреляций (при априорной определенности относительно всех параметров), либо осуществляется текущая оценка всех необходимых функций авто- и взаимных корреляций активных и пассивных пунктов в адаптивном варианте системы. В блоке В осуществляется весовая обработка (BX) помех от пассивных пунктов, после чего помехи активных пунктов Yi компенсируются на выходе вычитатора. В блоке Dj происходит дополнительная обработка помех, после чего осуществляется согласованная фильтрация.
В общем случае операция компенсации помех и процедура пространственной (антенной) и временной (корреляционно-фильтровой) обработки являются едиными и неделимыми. Если A2 является невырожденной квадратной матрицей, то существует обратная матрица и A2A21 = E . Поэтому вспомогательный вес Q~l = Kj не будет зависеть от A2, и, следовательно, пространственно-временная обработка в оптимальной АПС не зависит от свойств антенных систем опорных пассивных пунктов (но зависит от спектрально-корреляционных характеристик опорных помех). Если же и A1 является невырожденной квадратной матрицей, то алгоритм оптимального обнаружения АПС не зависит от свойств антенной системы основных (активных) пунктов.
Итак, широко используемая в системах связи раздельная обработка пространственных и временных параметров возможна только при условии квадратичности и невырожденности матриц Ai и A2 антенных систем объединенной оптимальной АПС обнаружения. Это является достаточным условием для того, чтобы единая обработка распалась на раздельные пространственную (в ФАР), весовую компенсационную (Y-BX) и временную (корреляционную с весом D iS или фильтровую с весом S) обработки. На рис. 1.3, в пунктиром помечено усложнение системы обработки в адаптивном варианте.
Проанализируем свойства «остатка» компенсации. Имеем:
((Y-BXXY-BXf) = Kyy-KyxKjKxy=DtE, ((Y(BXf)= ((BXYt)J =KyxKjKl *Е> ((Y-BXXBXf) = (Kyx-KvJ1Bt = 0, (BX(Y-BXf) =B^sy -JCyt) = 0, (D'\Y -BX\YT -XJBT )D'T) = D'lDD~J =D'T =D~\ "ЛАВА 1 су|НТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ B-CDMA
33
Причем последнее равенство выполняется тогда, когда Kxy = Kyx, т.е. когда Ix ) - ^ykjXnl), что наблюдается для стационарных и стационарно связанных случайных векторов хп=(хп1) и ук = (ykj). Некоррелированность векторов Y-BX и BX означает их ортогональность (рис. 1.3, г). Иначе говоря, БХесть проекция Y на вектор X, т.е. является условной оценкой Y на X с минимальной среднеквад-ратической ошибкой; тогда (Y-BX) есть ортогональный BX остаток компенсации. Характерно, что вектор BX не является белым, причем корреляция с вектором X совпадает со взаимной корреляцией Y и X:
IsBX(BXf) = KycK-JKl ф О, (BXXt)=K^ = (Х(ВХ)Т),
и последнее равенство выполняется для симметрической матрицы Kxx = Ktxx, когда
Отметим, что ортогонализация не эквивалента обелению (диагонализации матрицы корреляций К), поскольку для диагонализации необходима и достаточна нормальность матриц: KK7 = KtK . Это является более жестким условием, чем симметрия, и требует выполнения равенств Ixnjxmj) = (xmjxnj) для любых значений индексов.
1.3.3. Эффективность систем выделения сигналов B-CDMA-4G
Теперь перейдем к отысканию характеристик эффективности обнаружения алгоритмом (1.41). Поскольку (У) = (X) = O, то для среднего значения и дисперсии случайной величины на выходе при отсутствии и наличии сигнала получаем соответственно:
(X0) = 0, а02 = (X0Xt0 ) = StD-tS = (X1) = STD~lS = а? = 2?вых, (1.42)
где предположена симметрия матрицы ZT1 и согласованность антенных матриц д д"1 =E (й противном случае выражения весьма громоздкие).
Поскольку все матричные операции пространственной и компенсационно-фильтровой обработки в (1.40) линейные, то нормальность входных векторов помех сохраняется и на выходе. Поэтому случайная величина X распределена нормально как при отсутствии сигнала с параметрами ((А,0),ст0), так и при наличии сигнала с параметрами ((A,,),of). Используя критерий Котельникова-Зигерта, для вероятности ложной тревоги (Pln=P0J = 0) и вероятности правильного обнаружения (P00 = P1) получаем выражения
