Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.19. Имеются данные о двух типах объектов. Наблюдаемые характеристики Y, и X, объектов первого типа связаны зависимостью Y, = aXt + b + 2;, (t = 1,Г), для объектов второго типа имеет место аналогичная зависимость Vk = aUk + d + г\к (к = 1,К). Ошибки и ГЦ- являются независимыми ПВ с известными функциями правдоподобия, соответственно е~*> ,R и е~ц /5, где R и S - средние значения квадратов ошибок, умноженные на In 2. Требуется оценить общий для обеих зависимостей параметра а. В этой ситуации критерий оптимальной оценки имеет вид:
-/Г1 ?(оХг -У, +Ь)2 -S-lZ«xUk-Vk +d)2
L = е ' к => max.
Без информации о R и S эту задачу решить нельзя, однако знать их точные значения не обязательно. Пусть, например, R и S неизвестны, но их можно рассматривать как ПВ с априорно известными наиболее правдоподобными значениями G и И. Примем, что соответствующие
функции правдоподобия имеют вид eq(\-G/R) и eq(\-HIS)
При этом оптимальное а определяется из условия:
хехр
п\0 G Н
RS )
-/Г1 ? (аХ, - Yt + bf - S~l ? (aUk - Vk + d)2
max.
4.5. Устранение влияния отдельных факторов
Как говорилось в п. 1.5.2, нередко возникает потребность в установлении зависимости объясняемой переменной Y от объясняющей переменной X в условиях, когда заведомо известно, что на Y влияют и
95
иные факторы. Примеры оценки такого рода неполных зависимостей приводятся ниже.
Пример 4.20. Рассмотрим задачу выявления сезонных колебаний в динамике какого-либо "объемного** показателя X (например, объема производства на данном предприятии). Такая задача представляет интерес не только потому, что влияние сезонных факторов интересно само по себе. Нередко установление многих эконометрических зависимостей затруднено малым объемом исходной информации, и использование помесячных или поквартальных данных позволило бы повысить точность соответствующих оценок, если бы только из этих данных можно было бы исключить влияние сезонных факторов. Покажем, как можно это сделать.
Пусть известны значения Y{ анализируемого показателям в r-м квартале достаточно большого отчетного периода (г = 1, Г), начинающегося с I квартала некоторого календарного года. Предполагается, что в значениях Y могут быть выделены сезонная и "трен-довая" ("очищенная от влияния сезонности") составляющие. Последняя характеризуется динамикой (неизвестных) "трендовых" значений Z„ причем эта динамика должна быть "нормальной", влияние же сезонных факторов приводит к повышению или понижению фактических значений Y по отношению к "трендовым" в определенное число раз, зависящее только от номера квартала в соответствующем году. Иными словами, имеет место разложение:
Yt = Z,x У„ (4.28)
где J{ - коэффициент сезонного изменения Y (коэффициент сезонности), относящийся к r-му кварталу [44]. Эти коэффициенты через четыре квартала повторяются, так что их динамика периодическая:
J3 = J7 = J„ = ...;J4 = J8= Jl2 =.... (4.29)
Однако только этого для оценки зависимости недостаточно. Предположим, что в течение всех лет расчетного периода динамика Y была следующей: в течение первых трех кварталов К = 10, в IV квартале Y = 20. Спрашивается, что мы имеем: сезонный рост в четвертом квартале или сезонное снижение в первых трех или то и другое вместе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо договориться о том, какому кварталу будет отвечать индекс сезонности, равный единице. Пусть, для определенности, таким кварталом будет первый. Это даст нам дополнительное соотношение:
J j = 1. (4.30)
Формализуем теперь понятие "тренда". Выявляя влияние сезонных факторов, мы одновременно хотим и "очистить" от этого влияния динамику исследуемого показателя, т.е. сделать динамику трендовых значений Z, возможно более "гладкой", "плавной". Тем самым крите-
96
рием оптимального разложения должен выступать некоторый показатель "плавности" указанной динамики. В непрерывном случае здесь можно было бы использовать описанный в п. 2.2 интегральный критерий Q2. Поскольку в нашей задаче время меняется дискретно, воспользуемся дискретным аналогом указанного критерия. Это приводит к задаче нахождения неизвестных Jt и Z, из условий (4.28)-(4.30) и
Легко видеть, что это эквивалентно нахождению коэффициентов Jt из условия
при ограничениях (4.29)-(4.30). Нетрудно убедиться, что оптимальные коэффициенты J, (точнее, обратные к ним величины) находятся теперь из решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, после чего "очищенные" от влияния сезонности значения показателя (Z,) находятся из формулы (4.28). ¦
Пример 4.2I. При построении производственной функции, отражающей зависимость максимально возможного объема производимого продукта от имеющегося количества ресурсов, требуется скорректировать ВВП с учетом "недоиспользования производственной мощности народного хозяйства". Обычно в этих целях используется метод Уортонской школы "тренд через пики" [66]. Он состоит в проведении линии тренда по пиковым точкам временного ряда объемов ВВП, причем линия тренда отвечает потенциальному ВВП, а уровень использования мощностей - отношению фактического ВВП к "трендовому". Такому методу присущи два недостатка (см. также [4]): 1) в "пиковых" точках ВВП предполагается отвечающим полной загрузке мощностей; 2) предполагается, что линейная интерполяция между пиковыми точками является хорошим приближением темпов роста мощностей. Оказывается, есть возможность, хотя бы частично, устранить второй недостаток (устранить первый, по-видимому, нельзя даже, если рассматривать объемы производства в отдельных отраслях экономики).
