Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Экономика -> Клейнер Г.Б. -> "Эконометрические зависимости: принципы и методы построения" -> 42

Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.

Клейнер Г.Б. , Смоляк С.А. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения. Под редакцией Баковецкой B.C. — М.: Наука, 2000. — 104 c.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка): ekonometricheskie_zavisimosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 .. 46 >> Следующая

Другой вид "разнотипности" в рамках одной модели иллюстрируется следующим примером. Пусть ошибки наблюдения - СВ, имеющие нормальное распределение с нулевым средним и неточно известной
92
дисперсией S. Неопределенность величины S может носить различный характер, не обязательно вероятностный (так, может быть известен интервал, в котором лежит величина 5). Конкретные подходы к решению этой проблемы пока неясны, однако имеет смысл привести примеры задач, где учесть разнотипность неопределенности удается.
Пример 4.17. Пусть по Т наблюдениям (YnXt) оцениваются параметры a nb в линейной зависимости Y = аХ + Ь, причем переменная X наблюдается точно, a Y - со стохастической ошибкой имеющей нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией S. Предположим также, что имеющаяся информация об ошибке наблюдения позволяет считать, что ее дисперсия S близка к известной величине D. Примем поэтому, что S является величиной, наделенной правдоподобием, а степень ее относительного правдоподобия принимает максимальное значение 1 в точке S = D. Будем считать, что она имеет вид
e^]-D/s\ Где q - некоторый параметр, определяющий ширину
области достаточно правдоподобных значений S (при больших q функция правдоподобия резко уменьшается уже при малом отклонении S от D).
Если бы величина S была известна, то согласованность наблюдений (У„ X,) с параметрами модели а и b характеризовалась "обычной"
Т 1 —ГУ — пУ _А» 1 ^ /9 9
функцией правдоподобия П / е ' . Разделив эту вели-
чину на ее значение при наиболее правдоподобном значении S = D и нулевых локальных отклонениях Yt - (aXt + b), получим функцию отно-
сительного правдоподобия П J— е -В такой ситуации
r=i V S
функция согласованности egil~D,S) xf\ e~[Y'~aX'~b] ns отразит
как правдоподобие оцененного значения дисперсии S, так и согласованность рассчитанных отклонений У, - (aXt + b) с принятой моделью.
Максимизируя этот критерий, получим, что оптимальные а и b обеспечивают минимум суммы квадратов отклонений
ИГ [Yt - aXt -b]2 , а оптимальная оценка дисперсии S дается формулой
2qD+^[Yt-aXt-b?
S =-¦-. При малых q эта оценка близка к "обычной"
2q + T F
оценке максимального правдоподобия, при больших - к заданному,
наиболее правдоподобному значению D. Ш
Пример 4.18. Оценивается параметр а зависимости Y = Ф(Х, а),
93
связывающей истинные значения показателей некоторых объектов, причем истинные значения X, измеряются точно, a Y, - с аддитивной ошибкой наделенной правдоподобием. Основная часть ошибок -"малые", они характеризуются функцией относительного правдопо-
_<Lt2
добия е ^ . Однако некоторые ошибки могут быть "грубыми", для них функция относительного правдоподобия А(^) неизвестна. Примем, что она зависит от 1^1 и растет при увеличении 1^1. Количество грубых ошибок - тоже ПВ. Если бы такие ошибки возникали случайно, с вероятностью г в каждом наблюдении, то вероятность появления к
ошибок в Т наблюдения составляла бы ?*(1 -г)т~к. Примем поэтому, что количество грубых ошибок характеризуется степенью правдоподобия, пропорциональной этому выражению, а размеры грубых ошибок не зависят от их количества. Тогда, обозначив через Ж множество номеров наблюдений, отвечающих грубым ошибкам, а через к = \Ж\ -количество таких наблюдений, получим следующее выражение для критерия согласованности:
L = CkTek(l-ef'k П е-**'-***"**2 П А(1Г,-Ф(Х„а)1)=> max. (4.26)
Выясним свойства оптимального решения, зафиксировав вначале количество грубых ошибок. Предположим, что Г-е наблюдение отвечает грубой ошибке, а s-e - "малой" ошибке. Тогда значение L не должно увеличиться, если в множестве Ж заменить t на s. Легко видеть, что это будет только, если
b[Yt -Ф(Хпа)]2 + 1пА(1 Уг-Ф(Хпа)\) & ^ b[Ys -Ф(Х5,а)]2 +ln A(l Ys -Ф(Х5,а)1).
Но при положительных z функция bz2 + In A(z) - возрастающая, поэтому данное неравенство возможно только, если и, = \Yt - Ф(Х„ а)\ ^ ^ \Ys - Ф(Х5, а)\ = us. Таким образом, для всех t е Ж локальные отклонения и, не меньше, чем для всех остальных t. Это означает, что грубыми ошибками следует считать здесь те к наблюдений, которым отвечают наибольшие по модулю локальные отклонения. Обозначим поэтому к-е по порядку убывания из локальных отклонений через и(к).
Функция правдоподобия для грубых ошибок нам неизвестна, но ее оптимальная оценка, отвечающая максимальному значению критерия (4.26), будет очень простой: А(?) = 1 для \?) ^ w(jt). Тогда критерий (4.26) примет вид:
L = CkTzk(\-E)T-k П е-**'-***"*2 =>тах. (4.27)
94
Отсюда следует, что оптимальная оценка параметра а может быть получена методом наименьших квадратов исходя из наблюдений» не входящих в множество Ж. Таким образом: 1) множество Ж отвечает к наибольшим локальным отклонениям и, = \У{ - Ф(Х(, а)\\ 2) оптимальное
значение а обеспечивает минимум суммы Б(Ж) = ? [Yt-Ф(Хп(*У\2 \
3) оптимальное количество грубых ошибок к отвечает максимуму выражения Сктгк(\-г)т~к e~bS{%). Эти свойства могут быть положены в основу итеративной процедуры оптимального оценивания. ¦
В примере 2.8 мы рассмотрели задачу оценки параметра в условиях неоднородной ГС и стохастических ошибок. Аналогичный метод применим и тогда, когда ошибки являются ПВ или НВ.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 .. 46 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed