Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
равна Пем(Х'\ Поэтому критерий согласованности в данном случае t=\
принимает вид: exp j-fc j|w"(X)p JX+ ?м(Х,)j, а оптимальная оценка будет решением задачи:
A:J|w,,(X)|2JX+?w(X/)=>min, J eu{X)dX = \. (4.19)
Аналитическое решение этой задачи затруднительно, однако известные компьютерные программы позволяют решать ее численно. ¦
4.3. Выявление грубых ошибок и устранение их влияния
Некоторые из ошибок наблюдения рассматриваются на практике как "грубые". Один тип таких ошибок приводился выше - это ошибки спецификации, связанные с неверным в каком-то смысле выбором объекта наблюдения. Другой пример грубых ошибок часто возникает при сборе экономической информации, когда при ручном заполнении статистических таблиц искажается положение десятичной запятой. Ошибки такого рода часто удается выявить визуально: при графическом представлении собранной информации соответствующие точки выглядят на графике как "резко выделяющиеся". Однако если ошибка допущена в нескольких показателях объекта, выявить ее значительно труднее. Вопросам обработки информации методами математической статистики при наличии грубых ошибок посвящены, например, работы [42, 44], а также отдельные разделы в [1]. Между тем понятие "грубых ошибок" допускает неоднозначные трактовки. Это связано с тем, что в отличие от "стандартного" подхода, рассматривающего совокупность
86
наблюдений как однородную (характеризующуюся некоторым единым законом распределения), здесь она считается неоднородной, объединяющей наблюдения, относящиеся к разным однородным совокупностям (например, к данным о строительных организациях добавлены и данные, относящиеся к предприятиям других отраслей). Однако дать строгое определение "неоднородности" совокупности затруднительно даже в случае вероятностей неопределенности. Действительно, пусть зависимость между Y и X имеет вид Y = аХ + причем ошибки 2; имеют нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, пропорциональной X (см. примеры 2.4 и 2.9). Формально получаемая совокупность наблюдений (X, Y) неоднородна, ибо ошибки в разных наблюдениях имеют разные вероятностные распределения. С другой стороны, эту же совокупность можно считать однородной, представив ? иначе, в виде ? = г\Х1/2 - теперь все "нормированные ошибки" Г| будут иметь одно и то же распределение.
При математико-статистическом подходе ГС рассматривают как неоднородную, если она может быть расщеплена на несколько классов (групп) с разными законами распределения (см. пример 2.8). Однако именно для грубых ошибок такой подход неудобен: здесь закон распределения грубых ошибок не является объектом оценки и информации о нем несопоставима с информацией о распределении "обычных" ошибок. Поэтому данное определение целесообразно скорректировать: ГС считается неоднородной, если она расщепляется на несколько классов с разной информацией о распределении характеристик входящих в них объектов. Однако различие информации о характере неопределенности результатов "обычных" и "грубо ошибочных" наблюдений может быть формализовано по-разному. Поэтому возможны разные формализации (модели) "грубых ошибок" и соответственно - разные подходы к сепарации обычных и "грубых" ошибок. Переходя к их рассмотрению, предварительно заметим, что применительно к НВ и ПВ соответствующие задачи ранее не рассматривались. При этом в большинстве примеров мы рассматриваем базовую задачу оценки параметра а в зависимости Y = Ф(Х, а) между истинными значениями характеристик некоторых объектов. Предполагается, что истинные значения Xt измеряются точно, а вместо истинных значений Yt наблюдаются величины V,= Yt + отличающиеся от истинных аддитивными независимыми ошибками среди которых могут быть и грубые (разных типов). Количество грубых ошибок мы обозначаем через к, а множество номеров "грубо ошибочных наблюдений" - через Ж.
4.3.1. Модель "засорения"
Исторически первой моделью "грубых ошибок" была, по-видимому, модель "засорения" Хьюбера [42], предложенная для оценки параметров вероятностных распределений. Здесь считаются известными наблюдения случайной величины, которая должна иметь распределение
87
F с плотностью р(Х, 0) с неизвестным параметром 0. Однако реально такая величина наблюдается лишь с вероятностью 1-е, а с дополнительной вероятностью наблюдается совсем другая случайная величина, имеющая другое, "засоряющее" вероятностное распределение Н, не обязательно обладающее плотностью, о котором известно лишь, что оно принадлежит определенному широкому классу Ж (например, что оно произвольно или центрально-симметрично). Распределение результатов наблюдений при этом оказывается смесью (l-?)F + e//. Метод оценки 0 при этом подбирается так, чтобы минимизировать максимальное (по всем Н е Ж) ожидаемое влияние "засорения" (т.е. так, чтобы при наихудшем засорении вызванная им ошибка в оцениваемых параметрах была в среднем наименьшей). Обратим особое внимание, что МП-метод в этих целях не подходит, поскольку распределения вида (l-e)F + ?// могут не иметь плотности.
Легко видеть, однако, что предположение о стохастическом характере ошибок с методической точки зрения не обязательно. Действительно, изложенная модель базируется на предположении о том, что закон распределения результатов наблюдений в определенном смысле близок к заданному. Тот факт, что речь идет именно о вероятностном распределении, здесь принципиальной роли не играет. Поэтому в задачах установления зависимостей при наличии ошибок, являющихся НВ или ПВ, соответствующий вариант модели засорения будет выглядеть просто: функции принадлежности или относительного правдоподобия ошибок близки в том или ином смысле к заданным, например, отстоят от них на расстояние не большее 8.
