Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
В другом расчете получены 12 реализаций случайной величины, имеющей треугольное распределение на (0,1):
0,153; 0,370; 0,391; 0,485; 0,510; 0,516; 0,629; 0,639; 0,662; 0,735; 0,895; 0,964.
Оцененная указанным способом плотность распределения приведена на рис. 2.
Если ошибки являются НВ или ПВ, оценка непараметрических зависимостей иногда может быть получена на основе МС-принципа. Приведем ряд примеров.
Пример 4.9. Оценивается функция/(X) по результатам наблюдений Yt =f(Xt) + где ?,t - нечеткие ошибки, имеющие одну и ту же симметричную унимодальную функцию принадлежности g(x). Будем считать, что априорная информация об искомой функции позволяет считать ее нечеткой. Иными словами, предположим, что каждой из априори возможных функций / отвечает некоторая степень реальности, в данном случае - степень принадлежности Q(f), тем меньшая, чем менее "гладкой" будет/. Примем поэтому, что она имеет вид H(j\f'(X)\2dX), где Н - некоторая убывающая функция, Я(0) = 1, #(°°) = 0. Считая, что функция/и ошибка независимы, получим значение функции
83
принадлежности для их совместной реализации:
Максимизация этого критерия согласованности эквивалентна решению задачи:
при некотором D, зависящем от g и Н. Легко проверяется, что решением этой задачи будет некоторый сплайн. В п. 2.8 такая формализация задачи была получена из эвристических соображений. ¦
Аналогично может быть поставлена и задача оценки функции ДХ) при наличии нечетких ошибок наблюдений как объясняемой, так и объясняющих переменных. Ситуация, когда ошибки являются ПВ, рассматривается в следующем примере.
Пример 4.10. Оценивается функция f(X) по результатам наблюдений Yt = /(Х,) + где - ошибки, характеризуемые функцией
-кх2
относительного правдоподобия е . Будем считать, что априорная информация об искомой функции позволяет считать ее наделенной правдоподобием, причем степень относительного правдоподобия каждой из априори возможных функций/зависит от ее "гладкости" и имеет вид
Считая, что функция / и ошибки независимы,
запишем отрицательный логарифм функции правдоподобия для их совместной реализации, который одновременно является и критерием оптимальной оценки/:
Подобный критерий из эвристических соображений приведен в
Тот же метод можно использовать и для оценки более сложных зависимостей.
Пример 4.11. Оценивается производственная функция вида Vt = Ф(АГ,,?,), где V, - валовой продукт, Kt - используемый капитал, L, - затраты труда (например, количество отработанных человеко-часов) в году г. Предполагается, что оцениваемая функция - однородная первой степени. Прямое измерение величин Vt> Kt, Lt невозможно, известны лишь их наблюдения vnknlt, отличающиеся от истинных значений независимыми мультипликативными ПВ-ошибками:
lnv, = \nVt +?v/; \nkt = \nKt+?,kt\ In/, =lnL, +?/r
l\f"(Xfdx=> min, \Yt-f(Xt)\^ Д
(4.16)
L = JI/"(*)l2<k + *? [/(*,)-У,]2=> min.
(4.17)
n. 2.8.
84
Предполагается, что функции относительного правдоподобия для
этих ошибок имеют вид е~Ьх с разными параметрами масштаба bv, bk и bf, одинаковыми для всех наблюдений ("равноточность" разных наблюдений).
Для решения этой задачи обозначим ф(х) = \т\[Ф(еху 1)] и перейдем к показателям (истинной и наблюдаемой) производительности и капиталовооруженности труда:
Pt = ln
V
; р, = in
41 'J
; Q, =in
; q, = In
Л J
Тогда истинная зависимость и соотношения между истинными и наблюдаемыми переменными примут вид: Pt - <p(Q.), pt = Pt+ ?w Qt = ftоткуда
Sto=fc-fi+$ft; U=P,-<P(G) + S/r (4.18)
Если бы функция ф была известна, согласованность с ней результатов наблюдений можно было бы охарактеризовать функцией
относительного правдоподобия Пехр{-/?у^2,-bfc\t-bjQt}. Однако
t
функция ф неизвестна, но имеющаяся информация позволяет считать ее достаточно гладкой. Примем поэтому, что она наделена правдоподобием и соответствующая функция правдоподобия имеет вид
exp{-\l\<f>"(xfdx}. Тогда критерии согласованности, учитывающий одновременно и гладкость и распределение ошибок наблюдения, примет вид:
€-№ix#* хnexp{-^2w -b&\t-btft}=> max. t
Используя (4.18), величины ?vr и ^kt можно выразить через и Qt1 что позволяет представить критерий оптимальности в более простом виде:
X\\q>"(x)\2dx +
+1 {^vlPt ~ViQi)Hit]2+bk(qt ~Q,+ $it f + bfcl}=> min.
Минимизируя по переменным приходим к задаче нахождения оптимальной функции ф и неизвестных Qt по критерию:
\\W'(xfdx+^{by[pt -ф«2,)]2 +bk(qt-Qtf-
K[pt-№t)] + bk{gt-Qtf K + bk+bt
min.
85
Решением ее будет некоторый сплайн, однако "точки склеивания" его полиномиальных участков определяются нелинейными соотношениями, так что данную задачу легче решать численными методами. ¦
Пример 4.12. Известны результаты Xt наблюдений случайной величины. Требуется оценить плотность/(X) ее распределения. В примере 4.8 эта задача решалась МП-методом в предположении, что функция -1п/(Х) выпуклая. МС-принцип позволяет решить эту задачу при более слабом предположении о гладкости f(X). Такую информацию можно формализовать, рассмотрев плотность/(X) как неопределенную .функцию, наделенную правдоподобием, причем степень ее правдоподобия связана с функционалом гладкости. Поскольку плотность неотрицательна, введем в рассмотрение ее логарифм, обозначив и(х) = 1п/(х). По аналогии с примером 4.10 примем, что априорная степень правдоподобия и(Х) равна exp{-/J|u"(X)\2dx}. Степень правдоподобия наблюденных значений {X,} при известной и(Х) в данном случае
