Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
S
Частным случаем НВ являются величины, заданные интервально. Для них функция принадлежности равна 1 на некотором множестве (обычно - на интервале) возможных значений г и равна 0 вне его.
Приведем некоторые сведения из теории НВ [58]. Каждая НВ X однозначно характеризуется семейством своих "множеств уровня" (точнее - надуровня) ^Sxih) = [r\px{(j) ^ h), 0<h ^ 1. Множества этого семейства вложены друг в друга, но могут иметь произвольную форму18. Если все они выпуклы и замкнуты, назовем НВ стандартной (в одномерном случае стандартными будут НВ с унимодальными функциями принадлежности). Заменив каждое из множеств уровня своим выпуклым замыканием (в одномерном случае - наименьшим отрезком, содержащим множество уровня), мы получим другое семейство множеств, отвечающее новой, стандартной НВ Xе, которую мы назовем выпуклым замыканием исходной НВ X. В [58] предложено характеризовать близость НВ расстоянием между соответствующими множествами уровня - аналогично определялось расстояние между зависимостями в п. 2.1 и [6, 29].
При умножении НВ на положительное число X множества уровня подобно преобразуются - каждая точка любого из этих множеств умно-
18 Семейство множеств уровня может быть также положено в основу определения понятия нечеткой величины. Так, нечеткую величину, можно определить как отображение отрезка [0,1] в семейство вложенных друг в друга подмножеств числовой оси.
68
жается на X. При сложении двух независимых НВ соответствующие множества уровня суммируются по Минковскому19.
Выясним, есть ли аналог закону больших чисел для НВ. Пусть Sn -среднее арифметическое из п независимых НВ АГ, с одинаковыми функциями принадлежности. Из изложенных выше соображений несложно вывести, что если усредняемые НВ стандартны, то Sn является НВ с той же самой функцией принадлежности. Если же они не стандартны, то при п —> ©о функция принадлежности для Sn стремится к функции принадлежности для выпуклого замыкания любой из X;. Как видим, аналога закону больших чисел для НВ нет - "случайные" колебания такого рода при усреднении взаимно не погашаются!
Пусть Z - нечеткая ошибка наблюдения. Естественно считать, что ее функция принадлежности к = pz(r) велика при малых г и убывает с ростом И. Поэтому существует непрерывная обратная функция 1/1 =#(71). Пусть R = Rz = #(1/2). Тогда любая ошибка, по модулю, не превышающая R, будет иметь большую степень принадлежности, чем любая ошибка, по модулю превышающая R. На этом основании величину R можно трактовать как среднюю ошибку.
Изложенная модель характерна для "обычных", т.е. "малых", ошибок. Для грубых ошибок ситуация несколько иная: здесь степень принадлежности тем больше, чем больше величина ошибки, поэтому функция g будет возрастающей, а не убывающей. Определение средней ошибки здесь сохраняется, но приобретает иной смысл: любая ошибка, по модулю не превышающая А, будет иметь меньшую степень принадлежности, чем любая ошибка, по модулю превышающая А.
Мы не будем останавливаться на технологии и методологии практического использования НВ, отсылая чиателей к [56, 58 и др.]. В то же время представляется важным привести точку зрения Задэ, предложившего теорию нечетких множеств и дающего в предисловии к [59] такие объяснения целесообразности ее практического применения. "Первое объяснение может быть описано в терминах "мы не знаем", означая, что наше знание некоторой системы недостаточно точно или недостаточно полно для того, чтобы позволить нам использовать стандартные методы количественного анализа. Второе объяснение может быть описано в терминах "нам не так важно знать", что означает, что у нас нет необходимости знать какую-то систему с высокой степенью точности и детализации. Другими словами, нам не так важно, что информация неточна или частично недостоверна, если это может быть использовано для достижения хорошего и устойчивого (robust) решения с низкой стоимостью и хорошо согласованного с реальностью".
Второй альтернативой СВ являются введенные в [60] величины, наделенные правдоподобием (ПВ, likelihooded variables). Эти величины
19 По Минковскому, сумма множеств si и 2й есть объединение всех точек вида х + у, где х е si, у € 2й.
69
задаются с помощью специальных функций правдоподобия так же, как устанавливаются вероятностные распределения для СВ или функции принадлежности для НВ (аксиоматически, экспертно или с помощью функций правдоподобия других величин).
Понятие степени правдоподобия при этом представляется более наглядным, чем понятие "степени принадлежности" для нечетких величин, формализуя представления субъекта о правдоподобности тех или иных событий и являясь основанием для проведения индуктивных рассуждений при неполной информации [61].
Как и НВ, ПВ X однозначно характеризуется некоторой функцией (относительного) правдоподобия Рх(г), определенной на всем множестве возможных значений X, удовлетворяющей требованиям: Px(r) ^ 0; suPPx(r) = I20- Числу рх(г) при этом задается смысл "правдоподобия г как возможного значения А"', точнее - как относительного правдоподобия г по сравнению с наиболее правдоподобным из возможных значений X. ПВ X отождествляется с детерминированным вектором г; если px(r) = 1, px(s) = 0 при всех s * г. Легко убедиться, что функциям правдоподобия, равным 1 на некотором множестве (например, отрезке) и 0 вне его, отвечают интервально заданные величины.
