Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
с;.7 - nJ • (і - л)"-л
Как уже было рассмотрено для случая двухпериодной модели, цена опциона на начало периода есть дисконтированная величина прогнозно-
226
го дохода от исполнения опциона. Там в качестве примера рассматривался опцион пут. Если перейти к опциону колл, то этот доход определится из выражения max{0; SuJ'd"~J — X). Поскольку мы имеем распределение вероятностей достижения того или иного уровня цены, то ожидаемая величина дохода может быть найдена как средневзвешенная величина. С учетом дисконтирования по ставке г стоимость опциона колл на начало периода составит:
с=Д 7(7?^1" *r~J max{0; SuJd"~J ~ Х)- (18-29)
Данное выражение можно упростить, если принимать в расчет только те значения цены акции, при которых опцион колл будет исполнен. Пусть т — такое количество подъемов, при котором Sum dn~m > X. В этом случае получим
с - -jrhrX M^Wп 7(1" n)"~J(SuJdn~J - *>•
Раскрыв скобки, будем иметь
X^ п\
(1 + r)» JTn Mn - у)!
л>(1 - я)"-Л (18.30)
ПРИМЕР. Определить цену опциона колл на акцию, рыночная цена которой на начало периода 60 долл., цена исполнения — 55 долл. Длительность опционного контракта — 4 мес, шаг модели — 1 мес, г = 10%, о = 0,3. Рассчитаем темпы роста и снижения цены и соответствующие вероятности:
d шЄ"GV'Г=^3^Жз«0,92;
я = (e" - d)/(u - d) = (е0А ' °'083 - 0,92)/(1,09 - 0,92) = 0,52; 1 - я = 1 - 0,52 = 0,48.
Как видно из рис. 18.7, на конец четвертого периода биномиальная сетка имеет пять вершин. Значения цены акции в каждой вершине следующие:
Su4J0 = 60 • 1,094 • 0,92° = 84,7; Sw-V1 = 60 • 1,093 • 0,921 = 71,5; Su2d2 = 60 • 1,092 • 0,922 = 60,3; Su[d3 = 60 • 1,09і • 0,923 = 50,9; Sifid4 = 60 • 1,09° • 0,924 = 43.
Из приведенных данных следует, что только в верхних трех вершинах цена акции превышает цену исполнения. Это значит, что при уровнях цен 50,9 и 43,0 опцион не будет исполнен. Последние величины мы не будем учитывать в дальнейших расчетах.
227
43,0
to h Ь h U
Рис. 18.7
Найдем значения составляющих биномиальной модели для верхних трех точек:
4!/4!0! = I;
4!/3!l! = 4;
4!/2!2! = 6;
я4(1- я)0 = 0,524 = 0,073;
я3(1 - я)1 = 0,523 • 0,48 = 0,067;
я2(1 - я)2 = 0,522 • 0,482 = 0,062;
U4Cf= 1,094 = 1,41;
u3d{ = 1,093 • 0,92 =1,19;
ip-d1 = 1,092 • 0,922 = 1,01.
Таким образом, цена опциона колл будет равна:
C = 60(1 + 0,1 Г0-333 • (6 • 0,062 • 1,01 + 4 • 0,067 • 1,19+1 • 0,073 • 1,41) -
- 55(1 + 0,1 Г0-333 • (6 • 0,062 + 4 • 0,067 + 1 • 0,073) = 60 • 0,969 • 0,798 -
- 55 • 0,969 • 0,713 = 6,4 долл.
Формула Блэка—Шоулза. При рассмотрении предельного варианта биномиальной модели, т. е. при стремлении количества шагов к бесконечности, а длительности одного единичного интервала соответственно к нулю, формула (18.30) сводится к модели ценообразования опционов Блэка—Шоулза. Данная модель разработана Фишером Блэком и Майро-ном Шоулзом и была опубликована в 1973 г.1
Для понимания данной модели на интуитивном уровне рассмотрим величину S0 - Xe~rt. Она может быть названа скорректированной внутренней стоимостью опциона колл. Смысл данного показателя может быть объяснен при предположении, что вероятность исполнения опциона высока. Покупатель опциона как бы уже владеет акцией на момент заключения контракта, но не имеет к ней доступа. Условно можно считать, что S0 — это современная стоимость цены акции на момент исполнения опциона. Тогда Хе~п есть современная стоимость будущих затрат по покупке акции. Поэтому величина S0 — Хе~г( может быть рассмотрена как некоторый аналог современной стоимости будущих платежей по исполнению опциона. А это и есть его цена на начало периода. Но поскольку полной уверенности в исполнении опциона на самом деле нет,
1 Black F.. Scholes М. The Pricing of Options Corporate Liabilities// Journal of Political Economy 81 (May-June 1973). P. 637-59.
228
Gf
Рис. 18.8. Кривая нормального распределения
то необходимо ввести некоторые уточняющие весовые коэффициенты dli и I]2 ) для каждого элемента выражения скорректированной внутренней стоимости: S0T]1 - Хе~п ц2. Эти весовые коэффициенты должны быть связаны с вероятностью исполнения опциона и прогнозируемым темпом роста цены. На этом основан подход Блэка—Шоулза. Формула Блэка— Шоулза для опциона колл имеет следующий вид:
C = S0 N(J1) - Xe-11N(Cl2). (18.31)
Указанные весовые коэффициенты здесь обозначены N(dx) и N(d2).
В формуле (18.31) N(dx) и N(d2) — вероятности того, что случайная величина примет значения меньше dx и d2 соответственно. На рис. 18.8 эта вероятность соответствует значению площади заштрихованной части под кривой нормального распределения. Величины N(d{) и N(d2) находятся по таблице нормального распределения. Чем выше вероятность исполнения опциона, тем больше значения dx и d2. Для их определения используются формулы:
dx = Wn(SJX) + (г + o2?)t\l о , (18.32)
d2 = [In(S0/*) + (г - o2/2)t]/ aV7 , (18.33)
d2 = d{- o4i . (18.34)
Для опциона пут:
p = Xe-«N(-d2) - S0 N(-d{), (18.35)
