Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Su-кСы~ Sa-кС, (18.8)
Стоимость опциона вычитается из цены, так как держатель портфеля выписал опционы и должен в случае их исполнения возместить разницу текущей цены и цены исполнения (купить акцию дороже, а продать дешевле). Величина к выразится следующим образом:
к = (Su - Sd)/(CU - Cd). (18.9)
Данный коэффициент называется коэффициентом хеджирования в биномиальной модели. Затраты на формирование портфеля в начале периода составят S - кС. Через С в данном случае обозначена премия опциона (или его стоимость в начале периода), которую получает лицо, выписавшее опцион. На величину полученных премий сокращаются затраты по формированию портфеля. Предполагается, что эти инвестиции должны принести безрисковый доход. Если срок исполнения равен году, то имеем:
(S- кС)(\ + г) = S14- кСи, (18.10)
откуда
C= S/k- (S11 - кСи)/[к(\ + г)], (18.11)
где г — процентная ставка.
В случае использования непрерывной ставки получим соответственно:
(S- kQC= S14- кСи; (18.12)
С = S/k - [(S11 - кСи)/к] е~г. (18.13)
ПРИМЕР. Текущая цена акции в начале периода составила 90 долл. Цена исполнения — 100 долл.
Через год — к моменту истечения контракта — прогнозируется рост цены до 110 долл. или снижение до 70 долл. Безрисковая ставка — 12%. Определить коэффициент хеджирования и премию опциона на начало периода.
221
Решение. Лг = (110 — 70)/(10 - 0) = 4.
Полученный коэффициент говорит о том, что для того, чтобы сформировать безрисковый портфель при данных вариантах динамики цен, необходимо включить в него одну акцию и четыре коротких опциона колл. В начале периода премия опциона:
C = 90/4 - (ПО - 4 - 10)/(4(1 + 0,12)] = 6,875 долл.
При использовании непрерывной ставки получим:
С = 90/4 -[(110-4- 10)/41 ^-0'12 = 6,979 долл.
Синтетический опцион. Денежный поток, связанный с опционом, может быть воспроизведен при помощи портфеля акций и облигаций:
C14 = A - Su+ Ber, (18.14)
Cd = А • Sd + ВС\ (18.15)
где А — количество акций в портфеле, Вег — номинал облигации (для случая годового периода), В — стоимость облигации в начале периода.
Имеем систему уравнений, из которой можем определить А и В:
А = (C11 - Cd)/(SU - Sd) = (Си - Cd)/[S(u - </)]; (18.16)
B=[(uCd- dCu)/(u- d)] • er. (18.17)
Данный портфель должен воспроизводить цену опциона в начале периода:
C= А • S+ В. (18.18)
Величина А (дельта опциона) является разновидностью коэффициента хеджирования (А = 1Д) и используется в так называемом дельта-хеджировании.
ПРИМЕР. Условия те же, что и в предыдущем примере:
А = 1/4 = 0,25; и = 110/90 = 1,222; d = 70/90 = 0,778; В = [(1,222 • 0 -- 0,778 • 10)/(1,222 - 0,778)] е~0Л2 = -15,54; С = 0,25 ¦ 90 - 15,54 = = 6,96 долл.
Отрицательная величина В указывает на то, что осуществляется короткая продажа облигации. Сумма 6,96 долл. — это средства инвестора, которые необходимо затратить для формирования портфеля в начале периода; они и будут составлять стоимость опциона.
Можно использовать еще один способ оценки премии опционов. В некоторых источниках он называется оценкой, нейтральной к риску.
Нейтральная к риску оценка. Полученные выше значения А и В подставим в формулу (18.18) определения премии опциона:
222
с = (C11 - Cd)S/[S{u - d)] + (i/C„ - rfQ/Kl + г)(і/ ~ і/)]. (18.19)
Для условий непрерывного начисления процентов и периода / данная формула преобразуется следующим образом:
С = (C11 - Cd)S/[S(u -d)] + (uCd - dCu)/[e«(u - d)l (18.20)
Произведя алгебраические преобразования, получим (для непрерывного начисления процентов за период /):
C= (e"- d) Cue'rt/(u - d) + (и - ^) • CjTrt/(u - d). (18.21)
Пусть
(^ - cf)/(u - d) = n. (18.22)
Тогда
1 - я = (W - - ^). (18.23)
Получаем
C= п Cue~rt + (1 - Ji)Qr". (18.24)
Примем и > er > d, тогда я < 1. Величину я можно рассматривать как вероятность или как веса, по которым взвешиваются дисконтированные стоимости опциона для случаев повышения и снижения цены акции, в результате чего определяется премия опциона, выплачиваемая в начале периода.
Коэффициенты роста или падения курсовой стоимости зависят от времени изменения курса акции и ее стандартного отклонения, которое в данном случае измеряется в относительных величинах. В этом случае имеем:
d (18.25)
ПРИМЕР. Курс в начале периода — 50 долл., среднеквадратичное (стандартное) отклонение — 20%, непрерывная ставка — 12%. Определить вероятности повышения и понижения курса через 2 мес.
Решение. /= 0,167, т. е. (2/12); w = e0'2^1^ - 1,085; J = ?-°-2^7 -0,9215; ^r = ^0.2- олб7 = Ьо202;
я = (1,0202 - 0,9215)/(1,085 - 0,9215) = 0,0987/0,1635 = 0,6036; 1 - я = = 0,3963.
Вероятность (весовой коэффициент) повышения курса через 2 мес. равна 0,6036.
Двухпериодная модель. Рассмотрим график двухпериодной модели (рис. 18.5).
223
Рис. 18.5
В биномиальной модели по истечении единичного отрезка времени цена может возрасти или упасть. Как и в случае однопериодной модели, темп роста цены и = l/d, где d — темп снижения цены за период. Назовем успехом повышение цены по истечении принятого единичного отрезка времени, а неудачей — ее снижение. Обозначим количество успехов через j. Как видно из рис. 18.5, в самой верхней точке биномиальной решетки количество успехов равно 2, т. е. мы имеем два повышения цены подряд. В средней точке — один успех. В эту точку на графике два пути: либо сначала рост цены в первом периоде, а затем снижение во втором, либо наоборот — сначала происходит снижение, затем рост. В нижней точке количество успехов равно нулю, а количество неудач — двум.
