Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Паритет и взаимосвязь премий опционов. Предположим, что инвестор реализует две стратегии — А и Б. Стратегия А предполагает покупку одного опциона колл и облигации с нулевым купоном, стоимость которой Хе~п (в начале периода). Стратегия Б заключается в покупке одного опциона пут и одной акции (см. рассмотренную выше стратегию защитно-
218
го опциона пут). К моменту исполнения контракта можем иметь три варианта: S7 > Х\ S7 = Х\ S7 < X.
Если S7 > X, то исполняется опцион колл. Мы платим за акцию X, получаем S7. Стоимостный результат стратегии А есть S7 (стоимость акции), стратегии Б — также S7 (стоимость акции). Если S7 < X, то исполняется опцион пут. Стоимость портфеля, соответствующего стратегии А, равна X4 портфеля стратегии Б — тоже X. Таким образом, в любом случае в конце периода стоимости обоих портфелей равны между собой. Значит, они должны быть равны между собой и в начале периода. Стоимость портфеля стратегии А в начале периода: С + Хе~п\ портфеля стратегии Б : р + S0. Следовательно, можем записать:
С + Xe-" = р + S0. (18.7)
Формула (18.7) называется теоремой о паритете опционов пут и колл.
ПРИМЕР. S0 = 30 долл., X= 28 долл., г = 12%, срок контрактов — 4 мес, С = 4 долл. Найти р.
Решение. р=С + Xe'" - S0 = 4 + 28*>-°-12' 0333 - 30 = 0,903 долл. Предположим, что цена опциона пут составляет 1,2 долл. Появляется возможность для арбитража. Покупается опцион колл и продается опцион пут. Так же занимается и продается акция. Полученный доход будет равен -4 + 1,2 + 30 = 27,2 долл. Эта сумма инвестируется по ставке 12% на 4 мес: 27,2е°'12 ' 0333 = = 28,31 долл.
Если к моменту исполнения опциона S7 > 28, то арбитражер исполнит опцион, т.е. купит акцию за 28 долл. и получит прибыль 28,31 - 28 = = 0,31 долл.
Если S7 < 28, то будет исполнен опцион пут. Арбитражер купит акцию за 28 долл. Прибыль будет равна 28,31 - 28 = 0,31 долл. Если цена опциона занижена и, допустим, равна 0,5 долл., то инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Занимается под ставку без риска сумма 0,5 + 30 - 4 = 26,5 долл.
Через 4 мес нужно вернуть кредитору сумму 26,5е°-12' 0333 = 27,58 долл. Если S7 < 28, то арбитражер исполняет опцион и получает 28 - 27,58 = = 0,42 долл., если S7 > 28, то исполняет опцион колл, т.е. арбитражер продает акцию за 28 долл. Доход арбитражера 28 - 27,58 = 0,42 долл.
18.2. Модели определения цены опционов
Постановка вопроса. Предположим, что приобретается 3-месячный опцион колл с ценой исполнения 90 долл. Прогнозируется следующее распределение вероятностей цены актива к моменту исполнения опциона:
Цена к моменту
исполнения, долл. НО 105 100 95 90 85 80 Вероятность, % 15 20 25 20 10 5 5
219
Премия опциона должна соответствовать ожидаемому доходу, дисконтированному на начало периода. Ожидаемый доход будет равен 20 • 0,15 + + 15 • 0,2 + 10 ¦ 0,25 + 5 • 0,2 + 0 ¦ 0,1 + 0 ¦ 0,05 + 0 ¦ 0,05 = 9,5 долл.
Если безрисковая непрерывная ставка 12%, то премия опциона составит 9,5*-°-12"0-25 = 9,22 долл.
Биномиальная модель премии опционов
Однопериодная модель. Рассмотрим акцию с текущей рыночной ценой 90 долл. Прогнозируется, что через один год цена может составить либо 110, либо 70 долл. Предположим, что на данную акцию заключен опционный контракт (опцион колл) с ценой исполнения 100 долл. и сроком истечения через один год.
В случае повышения цены до ПО долл. стоимость опциона составит 10 долл., а при снижении цены она будет равна нулю. Графически данную ситуацию можно изобразить так, как показано на рис. 18.4.
90
110 (C= 10)
Рис. 18.4
Необходимо найти стоимость опциона в начальный момент (в момент заключения контракта). С этой целью могут быть использованы три подхода1 определения стоимости:
при помощи безрискового портфеля; с помощью синтетического опциона; на основе нейтральной к риску оценки.
Формирование безрискового портфеля. Смысл данного подхода состоит в формировании портфеля, состоящего из акций и опционов таким образом, чтобы денежные потоки за счет портфеля были одинаковыми в случае различных (заранее определенных) вариантов динамики цены акции. В данном подходе опцион является инструментом снижения риска, или хеджирования.
Пусть S — цена акции в начальный период. Через некоторое время она может подняться или опуститься. Коэффициент (темп) роста цены в определенный момент в будущем обозначим через w, коэффициент (темп) снижения — через d. Будущую цену в случае роста — через Su; со-
1 Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. M., 1998.
220
ответственно Sd —- это цена при ее снижении в тот же момент времени. При этом и > 1, d < 1.
Можем записать: S14 = Su, Sd = Sd.
Стоимости опциона при повышении цены (C14) и при ее снижении (Cj) будут равны: C14 = max{0, S14- Л]; Cd = тах{0, Sd- А}.
Наша задача — сформировать портфель, платежи по которому будут одинаковыми как при повышении, так и при снижении цены акции, т.е. мы строим безрисковый портфель, или осуществляем хеджирование. Это может быть достигнуто посредством включения в портфель акции и определенного количества коротких опционов колл. Обозначим это количество через к. С целью определения величины к составим уравнение:
